Chủ đề này có 21 trả lời

[Messi_ndt]

Hehe, Tùng thử bài này xem:
CMR: $\dfrac{R}{2r} \ge \dfrac{m_a}{h_a}$

LG băng đại số không khó như V nghĩ đâu.
Haizzz. Lời giải của mình có hai trường hợp, một trường hợp xài SOS ngay, còn một trường hợp nữa cũng dùng một đánh giá tương tự như lời giải dưới đấy của anh Cẩn, hơi dài nên có cơ hội mình sẽ bỏ vào 1 file rùi up vào đây.
Lời giải dưới của anh Cẩn ngắn gọn hơn của mình nhiều, post lên cho mọt người xem.
$ \dfrac{2R}{r} \geq \dfrac{m_a}{h_a}$
$ <=> b^2c^2(a+b+c) \geq (2b^2+2c^2-a^2)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) $
Đặt $x=b+c-a, y=c+a-b, z=a+b-c.$ Vì a,b,c là ba cạnh của tam giác nên $x, y, z>0.$
Bất đẳng thức trở thành:
$(x+y)^2(x+z)^2(x+y+z) \ge 4[4x(x+y+z)+(y-z)^2]xyz$
Tương đương
$(x+y+z)[(x+y)^2(x+z)^2-16x^2yz] \ge 4xyz(y-z)^2.$
Khi
$(x+y)^2(x+z)^2-16x^2yz= (x-y)^2(x+z)^2 +4xy(x-z)^2 $
$ \ge 4xz(x-y)^2+4xy(x-z)^2$
suy ra bất đẳng thức cần chứng minh đúng.
$(x+y+z)[z(x-y)^2+y(x-z)^2] \ge yz(y-z)^2.$
Vì $x+y+z>y+z.$
$(y+z)[z(x-y)^2+y(x-z)^2] \ge yz(y-z)^2,$
xài tí CS
$ (y+z)[z(x-y)^2+y(x-z)^2] \ge \left[ \sqrt{y}\sqrt{z}(x-y)+\sqrt{z}\sqrt{y}(z-x)\right]^2$
$ =yz(y-z)^2. $
Q.E.D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Messi_ndt: 28-08-2010 - 19:28

[Messi_ndt]

Next Problem.
$\dfrac{\left|a-b\right|}{m_{c}^{2}}+\dfrac{\left|b-c\right|}{m_{a}^{2}}+\dfrac{\left|c-a\right|}{m_{b}^{2}}\leq\dfrac{1}{r}$