Chủ đề này có 2 trả lời

[MaiXuanMinh]

Bài 1: Cho a,b,c >0.a+b+b=3.CMR:

1)a^{2}+ b^{2}+ c^{2}+ :frac{ab+bc+ca}{ a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a } 4

2) :frac{2}{9-ab}+ :frac{1}{9-bc}+ :frac{1}{9-ca} :frac{3}{8}

3) 3^{a+b+c} (1+ :frac{a+b}{c}^{c}

Bài 2: a,b,c>0.CMR:
1) (a+b)^{2} + (a+b+ :frac{1}{a}+ :frac{1}{b})^{2} 8(1+ :sqrt{2})

2) :frac{ a^{2} }{ a^{2}+ (b+c)^{2} }
Bài 3 :
1)a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.CMR:
(a+b-c)^{a} a^{a} b^{b} c^{c}

2)
Cho a,b,c,x,y,z >0.CMR:

:frac{a(y+z)}{b+c} + :frac{b(z+x)}{c+a} + :frac{c(x+y)}{a+b} :sqrt{(x+y)(x+z)} + :sqrt{(y+z)(y+x)} + :sqrt{(z+x)(z+y)} -(x+y+z)

Bài 34:

1)Cho u,v >0, u^{2} + v^{2} = 5.CMR: u^{3} + v^{6} 9

2)a,b,c,d,e la các số thực cùng dấu.CMR:

(a-b)(a-c)(a-d)(a-e)+(b-c)(b-d)(b-e)(b-a)+(c-d)(c-e)(c-b)(c-a) + (d-e)(d-a)(d-b)(d-c) + (e-a)(e-b)(e-c)(e-d)


Làm thử nhé !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MaiXuanMinh: 14-08-2010 - 23:42

[Darij Grinberg]

Chém 2 bài chơi cái đã
1)
Cho a,b,c>0. a+b+c=3. CMR:
a. $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a} \geq 4$
b. $\dfrac{1}{9-ab}+\dfrac{1}{9-ab}+\dfrac{1}{9-ab} \leq \dfrac{3}{8}$

Có : $a^{3}+b^{3}+c^{3}+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}=(a^{3}+ab^{2})+(b^{3}+bc^{2})+(c^{3}+ca^{2}) \geq 2a^{2}b+2b^{2}c+2c^{2}a$
Do đó: $3(a^{2}+b^{2}+c^{2}) =(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})=(a^{3}+b^{3}+c^{3}+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})+a^{2}b+b^{2}.c+c^{2}a \geq 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$
Đặt $t=a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 3$ thì $ab+bc+ca=\dfrac{9-t}{2}$
Do đó: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a} \geq t+\dfrac{9-t}{2t}=\dfrac{t}{2}+\dfrac{9}{2t}+\dfrac{t}{2}-\dfrac{1}{2} \geq 3+3/2-1/2=4$

b. Ta có: $ab \leq (\dfrac{a+b}{2})^{2}=(\dfrac{3-c}{2})^{2} \Rightarrow \dfrac{1}{9-ab} \leq \dfrac{4}{-c^{2}+6c+27}$
TT mấy cái còn lại.
Lại có: $\dfrac{4}{-c^{2}+6c+27}-\dfrac{9-x}{64}=\dfrac{(x-1)^{2}(x-13)}{64(-x^{2}+6x+27} \leq0 $ với mọi x thuộc (0;3)
TT mấy cái kia rồi cộng lại là xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Darij Grinberg: 15-08-2010 - 02:04

[anh qua]

Bài 1: Cho a,b,c >0.a+b+b=3.CMR:
2) $\dfrac{2}{9-ab}+ \dfrac{1}{9-bc}+ \dfrac{1}{9-ca} \leq \dfrac{3}{8}$
Bài 2: a,b,c>0.CMR:
2) $ \sum \dfrac{ a^{2} }{ a^{2}+ (b+c)^{2} } \geq \dfrac{3}{5}$

bài 1:
2)C1: Biến đổi p,q,r về;
$8(243-18q+3r)$ $\leq 3(729-81q+27r-r^2)$
$ \Leftrightarrow 243-99q+57r-3r^2 \geq 0$
mà $3=3(\dfrac{(a+b+c)}{3})^6$ $\geq 3(abc)^2$
$=>1 \geq r^2$
mặt khác :$ r \geq \dfrac{p(4q-p^2)}{9}$ $=>57r \geq 19{4q-9}$
nên ta cần Cm:
$72-23q-3r^2 \geq 0$
$ \Leftrightarrow 3(1-r^2)+23(3-q) \geq 0$ (luôn đúng)
C2:(dùng Trê Bư Sép trong sáng tạo BDt củ PKH).
Bài 2:
2)
Áp dụng Cauchy Schwarz ta có

$\sum \dfrac{ a^{2} }{ a^{2}+ (b+c)^{2} } \geq $
$ \dfrac{ (a^{2}+b^2+c^2)^2 }{ \sum\(a^{4}+a^2.(b+c)^{2} ) }.$
ta cần Cm:
$\sum \dfrac{ (a^{2}+b^2+c^2)^2 }{ \sum (\ a^{4}+ a^2.(b+c)^{2} )}. \geq \dfrac{3}{5}$
$\Leftrightarrow (a^4+b^4+c^4)+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) $ $\geq 3(a^2bc+b^2c+c^2ab)$ (luôn đúng).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 15-08-2010 - 09:13