Chủ đề này có 1 trả lời

[Ho pham thieu]

Cmr: $sinA+sinB+sinC \geq sin^3A+sin^3B+sin^3C+sinA.sinB.sinC$ voi moi tam giac $ABC$.

Hoi cu nhung hay

[vuthanhtu_hd]

Cmr: $sinA+sinB+sinC \geq sin^3A+sin^3B+sin^3C+sinA.sinB.sinC$ voi moi tam giac $ABC$.

Hoi cu nhung hay

Áp dụng $sin3x=3sinx-4sin^3x$ hay $sin^3x=\dfrac{1}{4}(3sinx-sinx)$

ta đưa BĐT cần chứng minh về dạng

$\sum sinA+\sum sin 3A \ge 4 \Pi sin A$ (1)

Tiếp tục sử dụng các hệ thức lượng giác quen thuộc
$cos 3x=4cos^3 x -3cosx$ ,$sin 2x = 2sinxcosx$
$\sum sin A = 4 \Pi cos(\dfrac{A}{2})$
$\sum sin 3A = - 4 \Pi cos(\dfrac{3A}{2})= -4 \Pi (4cos ^2 \dfrac{A}{2}- 3cos \dfrac{A}{2})$
$=-4 \Pi cos \dfrac{A}{2} \Pi (4cos ^2 \dfrac{A}{2}- 3)=-4 \Pi cos \dfrac{A}{2} \Pi (2(cosA+1)- 3)$

$\sum cosA=1+4 \Pi sin \dfrac{A}{2}$


$(1) \leftrightarrow \Pi cos(\dfrac{A}{2}) - \Pi cos \dfrac{A}{2} \Pi (2cosA-1) \ge 8 \Pi (sin \dfrac{A}{2} cos \dfrac{A}{2})$
Chia cả 2 vế cho $\Pi cos(\dfrac{A}{2})$,ta cần chứng minh

$1- \Pi (2cosA-1) \ge 8 \Pi sin\dfrac{A}{2} $
$ \leftrightarrow 1- \Pi (2cosA-1) \ge 2(\sum cosA-1))$

Đến đây,khai triển và nhóm lại ta thu được BĐT quen thuộc hơn

$\Pi (1-cosA) \ge \Pi cosA$


BĐT này có trong nhiều tài liệu.Trường hợp tam giác tù hoặc vuông thì hiển nhiên.Trường hợp tam giác nhọn thì nhân cả 2 về với $\Pi (1+cos A)$
thì BĐT trở thành $\Pi sin^2A \ge \Pi cosA \Pi (1+cosA)$
$\leftrightarrow \Pi sin A \Pi (2sin \dfrac{A}{2} cos \dfrac{A}{2}) \ge \Pi cosA (2cos^2 \dfrac{A}{2})$

$\leftrightarrow \Pi tan A \ge \Pi cot \dfrac{A}{2}$

Áp dụng BĐT Jensen $tan A +tan B \ge 2 tan \dfrac {A+B}{2} =2 cot \dfrac {C}{2} $
viết 2 BĐT tương tự rồi cộng lại ta có điều phải chứng minh.

PS: Bài này chuyển về BĐT đại số với các cạnh của tam giác,chắc cũng được 1 BĐT khó