Chủ đề này có 3 trả lời

[Ho pham thieu]

Cho $a,b,c>0, a+b+c=3$. Cmr
$\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{c}} \geq 3+\dfrac{3}{\sqrt{2}}$

[Ho pham thieu]

Xet hs $f(x)= \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}=(\sqrt{x^2+1)^{-\dfrac{1}{2}}+(\sqrt{x})^{-\dfrac{1}{2}}$ tren (0;+vc)
BDT can cm tt $f(a)+f(b)+f© \geq 3+\dfrac{3}{\sqrt{2}}$
Ta tinh duoc $f''(x)=(x^2+1)^{-\dfrac{5}{2}}.(2x^2-1)+\dfrac{3}{4}.x^{-\dfrac{5}{2}}$
$f''(x)=(x^2+1)^{-\dfrac{5}{2}}.(2x^2-1)+\dfrac{3}{4}.x^{-\dfrac{5}{2}}>0$
$\Leftrightarrow \dfrac{2x^2-1}{\sqrt{(x^2+1)^5}}+\dfrac{3}{4\sqrt{x^5}}>0$
$\Leftrightarrow 4\sqrt{x^5}.(2x^2-1)+3\sqrt{(x^2+1)^5>0$
+) $x>\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ dung
+) $0<x<\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$3.\sqrt{(x^2+1)^5}>4\sqrt{x^5(2x^2-1)^2} \Leftrightarrow 9.(x^2+1)^5>16x^5(2x^2-1)^2$
De thay $VT \geq 9.(2x)^5>16x^5>16x^5(2x^2-1)^2=VP$ (do $0<x<\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ )
Vay $f''(x) >0$ voi moi x.
A/d bdt Jensen ta co $f(a)+f(b)+f© \geq 3f(\dfrac{a+b+c}{3})=3f(1)=3+\dfrac{3}{\sqrt{2}}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ho pham thieu: 24-08-2010 - 12:48

[tranquocluat_ht]

Cho $a,b,c>0, a+b+c=3$. Cmr
$\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{c}} \geq 3+\dfrac{3}{\sqrt{2}}$

Thiều ghi ro nguồn khi post nhé: http://toanhocsinhvi.../topic-t202.htm
Tác giả sáng tác bài này dùng AM_GM cơ:!
http://toanhocsinhvi...ic-t202.htm#490

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranquocluat_ht: 24-08-2010 - 13:30

[Ho pham thieu]

Cach don gian ne:
$VT= \sum (\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2a}}) + (1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}).\sum (\dfrac{1}{\sqrt{a}}) $

$\geq 2\sum(\dfrac{1}{\sqrt[4]{2a.(a^2+1)}})+ (1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}).\sum (\dfrac{1}{\sqrt{a}})$

$\geq 2\sum (\dfrac{\sqrt{2}}{a+1})+(1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}).\dfrac{9}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

$\geq 2\sqrt{2}.\dfrac{9}{a+b+c+3}+(1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}).\dfrac{9}{\sqrt{3(a+b+c)}}$

$=2\sqrt{2}.\dfrac{9}{3+3}+(1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}).\dfrac{9}{\sqrt{3.3}}=3+\dfrac{3}{\sqrt{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ho pham thieu: 25-08-2010 - 22:02