Chủ đề này có 5 trả lời

[tshamala]

Cho a, b, c > 0 và abc = 1. CMR:
$ \dfrac{a}{a^2+2} + \dfrac{b}{b^2+2} + \dfrac{c}{c^2+2} \leq 1$

[h.vuong_pdl]

sử dụng pp dồn biến:
giả sử c = max {a;b;c} và đặt $t= \sqrt{ab} \to t \le 1 \le c.$
đặt $f(a;b;c) = VT$
ta sẽ Cm: $f(t;t;c) \ge f(a;b;c).$
thật vậy sau khi quy đồng và phân tích nhân tử ta được: $(a-b)^2.(a+b+2t - t^3) \ge 0$ => hiển nhiên đúng ???
công việc còn lại chỉ là Cm BDT sau:
$\dfrac{2t}{t^2+2} + \dfrac{c}{c^2+2} \le 1 \\ hay: \dfrac{t^2}{1+2t^4} + \dfrac{2t}{t^2+2} \le 1$
chú ý hiển hiên $2t \le t^2+1 \to x = t^2$ ta sẽ Cm BDT mạnh hơn:
$\dfrac{x}{1+2x^2} + \dfrac{x+1}{x+2} \le 1 \\ <=> \dfrac{1}{x+2} \ge \dfrac{x}{1+2x^2} \\ <=> (x-1)^2 \ge 0$ hiển nhiên đúng ???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi h.vuong_pdl: 29-08-2010 - 10:27

[Messi_ndt]

Cho a, b, c > 0 và abc = 1. CMR:
$ \dfrac{a}{a^2+2} + \dfrac{b}{b^2+2} + \dfrac{c}{c^2+2} \leq 1$

$\sum \dfrac{a}{a^2+2} \leq \sum \dfrac{a}{2a+1} \leq 1 $ (vì $ a^2+1+1 \geq 2a+1 $)

$ <=> \sum a(2b+1)(2c+1) \leq (2a+1)(2b+1)(2c+1) $

$ <=> a+b+c \geq 3 $

Đúng theo AM-GM.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Messi_ndt: 30-08-2010 - 12:55

[h.vuong_pdl]

$ BDT <=> \sum \dfrac{2}{a^2+2} \leq 2 <=> \sum \dfrac{a^2}{a^2+2} \geq 1 $

$ \sum \dfrac{a^2}{a^2+2} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+6} =\dfrac{\sum a^2+2\sum ab}{\sum a^2+6} \geq 1$

Vì $ ab+bc+ca \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3$

Uhm, Messi_ndt nhầm rồi ah, làm sao mà có $BDT <=> \sum \dfrac{2}{a^2+2} \leq 2$ được
nên nhớ đề là: $\sum{\dfrac{a}{a^2+2}}$ ???

P/s: bài này làm mình nhớ đến bài toán đẹp sau:
$\sum{\dfrac{a}{a^2+3}} \le \dfrac{3}{4}$ !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi h.vuong_pdl: 29-08-2010 - 15:23

[dark templar]

Uhm, Messi_ndt nhầm rồi ah, làm sao mà có $BDT <=> \sum \dfrac{2}{a^2+2} \leq 2$ được
nên nhớ đề là: $\sum{\dfrac{a}{a^2+2}}$ ???

P/s: bài này làm mình nhớ đến bài toán đẹp sau:
$\sum{\dfrac{a}{a^2+3}} \le \dfrac{3}{4}$ !

mình nghĩ bài này dùng kĩ thuật Cauchy nghịch đảo chắc chắn ra

[dark templar]

Cho a, b, c > 0 và abc = 1. CMR:
$ \dfrac{a}{a^2+2} + \dfrac{b}{b^2+2} + \dfrac{c}{c^2+2} \leq 1$

Có $a^2+1 \geq 2a,b^2+1 \geq 2b,c^2+1 \geq 2c$
Nên $ \sum \dfrac{a}{a^2+2} \leq \sum \dfrac{a}{2a+1}$
Ta sẽ cm $ \sum \dfrac{a}{2a+1} \leq 1$(1)
Thật vậy (1)<=>$ \sum \dfrac{1}{2a+1} \geq 1$
Đặt $a=\dfrac{x}{y},b=\dfrac{y}{z},c=\dfrac{z}{x}=>x,y,z>0$
BĐT trên <=>$ \sum \dfrac{y}{2x+y} \geq 1$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :
$ \sum \dfrac{y}{2x+y} \geq \dfrac{ (\sum x)^2}{ \sum x^2+2 \sum xy}=1$(đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 02-10-2010 - 09:41