Chưa có bài trả lời

[Nguyễn Thái Vũ]

Xét bài toán số học sau:
IMO 2004 Athens:
Một số nguyên dương được gọi là thay phiên nếu với bất kì 2 chữ số liên tiếp nào trong biểu diễn hệ thập phân
của nó cũng khác nhau về tính chẵn lẻ.Hãy xác định tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn n có một bội nguyên là số thay phiên.
Đây là một bài toán khó và hay đã từng được thảo luận rất nhiều. Để giải bài ta cần dùng đến các bổ đề sau.
Bổ đề 1:
Cho A,k nguyên dương. (k,10)=1. Khi đó tồn tại 1 bội nguyên dương của k được tạo thành bằng cách đặt liên tiếp các số A. Ví dụ: AAAAA.....AAAAA( có gạch đầu)
Bổ đề 2:
Mỗi lũy thừa của số 2 đều có bội số thay phiên.
Bổ đề 3:
Mỗi số dạng $2.5^{n} $ đều có bội nguyên thay phiên.
Khi đã biết đến 3 bổ đề này thì có lẽ bài toán 1 không còn quá phức tạp , công việc bây giờ của các bạn là chứng minh các bổ đề trên. Công việc không quá phức tạp.
Và bây giờ. Xin mời....