$\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{a+b}}+\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{c^2+a^2}{c+a}}+3\le \sqrt{2} (\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})$
Lời giải.
C1.Trước tiên ta chứng minh:
$ 3 \le \sqrt{\dfrac{2ab}{a+b}}+ \sqrt{\dfrac{2bc}{b+c}}+ \sqrt{\dfrac{2ca}{c+a}} $
Đặt $ x=\dfrac{1}{a},y=\dfrac{1}{b},z=\dfrac{1}{c} \Rightarrow x+y+z \le 3 $
Ta cần chứng minh: $ \sqrt{\dfrac{2}{x+y}}+ \sqrt{\dfrac{2}{y+z}}+ \sqrt{\dfrac{2}{z+x}} \ge 3 $
ÁP dụng bất đẳng thức Holder ta có:
$ \left ( \sqrt{\dfrac{2}{x+y}}+ \sqrt{\dfrac{2}{y+z}}+ \sqrt{\dfrac{2}{z+x}} \right )^2 \left ( \dfrac{x+y}{2}+\dfrac{y+z}{2}+\dfrac{z+x}{2} \right ) \ge 27 $
Vì $ x+y+z \le 3 $ nên ta suy ra kết quả chứng minh.
Mặt khác ta lại có:
$ \sum \sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{a+b}} + \sum \sqrt{\dfrac{2a}{a+b}} = \sum \dfrac{\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{2ab}}{a+b}$
$ \le \sum \sqrt{\dfrac{2(a+b)^2}{a+b}} = \sum \sqrt{2(a+b)} $
Vậy ta có đpcm.
C2.
Thay a,b,c bởi $\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}$
Bất dẳng thức tương đương với.
$\sum \left( \sqrt{2\left(\dfrac{a+b}{ab}\right)}-\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{ab(a+b)}}\right)\ge 3$
$ <=>\sum \left( \sqrt{2\left(\dfrac{a+b}{ab}\right)}-\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{ab(a+b)}}\right)\ge 3$
$ <=>\sum \dfrac{2(a+b)^2-a^2-b^2}{\left(\sqrt{2}(a+b)+\sqrt{a^2+b^2}\right)\sqrt{ab(a+b)}}} \ge 3$
$<=>\sum \dfrac{a^2+b^2+4ab}{\left(\sqrt{2ab(a+b)^2}+\sqrt{ab(a^2+b^2)}\right)\sqrt{(a+b)}}} \ge 3$
Dùng Cauchy-Schwarz
$\sqrt{2ab(a+b)^2}+\sqrt{ab(a^2+b^2)}$
$\le \sqrt{\left((a+b)^2+2ab\right)\left(2ab+\dfrac{(a^2+b^2)}{2}\right)}=\dfrac{a^2+b^2+4ab}{2}$
Do đó.
$\sum \dfrac{a^2+b^2+4ab}{\left(\sqrt{2ab(a+b)^2}+\sqrt{a^2+b^2}\right)\sqrt{(a+b)}}}$
$\ge \sum \sqrt{ \dfrac{2}{a+b}}$
Từ CS ta có
$\left(\sum \sqrt{ \dfrac{2}{a+b}}\right)^22(a+b+c) \ge 27\times 2 $
Và$ a+b+c \le 3$ Suy ra Q.E.D
Đẳng thức tại a=b=c=1.
Bài 2.(Iran MO)Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}+\dfrac{1}{(a+b+c)^{2}}\ge\dfrac{7}{25}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a+b+c})^{2}$
Bài 3.Cho a,b,c là các số thực không âm và x,y,z là số thực và $ a+b+c=x+y+z.$
Chứng minh:
$\dfrac{a^3}{x^2}+\dfrac{b^3}{y^2}+\dfrac{c^3}{z^2} \ge a+b+c.$
Bài 4.Cho x,y là hai số thực không âm và x+y=2a. Chứng minh:
$x^3y^3(x^2+y^2)^2 \leq 4a^{10}$
Bài 5.Cho $ a_0,a_1,\dots,a_n , a_{k+1}-a_k \geq 1 $ với $ k=0,1,\dots,n-1.$
Chứng minh:
$ 1+\dfrac{1}{a_0} \left( 1+\dfrac1{a_1-a_0}\right)\cdots\left(1+\dfrac1{a_n-a_0}\right)\leq \left(1+\dfrac1{a_0}\right) \left(1+\dfrac1{a_1}\right)\cdots \left(1+\dfrac1{a_n}\right)$
Anh em tiếp tục bổ sung chém luôn ta làm 1 file cho VMF nào.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Messi_ndt: 31-08-2010 - 20:47
