cho các số $ x_1,x_2,x_3\in N^{*} $ thỏa $ \dfrac{x_1+x_2}{x_3},\dfrac{x_2+x_3}{x_1},\dfrac{x_3+x_1}{x_2}\in N^{*} $
CMR: $ \dfrac{x_1+x_2}{x_3}+\dfrac{x_2+x_3}{x_1}+\dfrac{x_3+x_1}{x_2}\le8 $
1 Bất đẳng thức số học
Bắt đầu bởi jin195, 21-09-2010 - 17:24
#2
Đã gửi 21-09-2010 - 18:00
tuan101293
-
- Thành viên
-
- 999 Bài viết
Trung úy
Đặt a,b,c cho nhanh nhé ta có $\dfrac{b+c}{a},\dfrac{c+a}{b},\dfrac{a+b}{c}\in N*$
Giả sử a=max(a,b,c) thì suy ra $b+c\le 2a$ suy ra $b+c=2a$ hoắc $b+c=a$
TH1:b+c=2a suy ra a=b=c thì tổng kia =6<8 đúng
TH2:b+c=a, suy ra c=a-b thay nốt vào 2 cái kia ta được
+,$b|a+a-b$ suy ra $b|2a$ (1)
+,$(a-b)|a+b$ suy ra $a-b|2b$ suy ra $a\le 3b$ (2)
chú ý $a=b+c\ge b+1$ nên từ 1 và 2 suy ra
$a\in {\dfrac{3b}{2},2b,\dfrac{5b}{2},3b}$ (chú ý cái 3b/2 và 5b/2 là với b chẵn)
thay lại vào cái $a-b|2b$ thấy cái 5b/2 bị kích vì ko thỏa mãn.
còn lại ta thay nốt các bộ sau vào đề tính tổng: $(a,b,c)=(\dfrac{3b}{2},b,\dfrac{b}{2}),(2b,b,b),(3b,b,2b)$ thấy tổng =8,7,8
nên ta có ĐPCM
Giả sử a=max(a,b,c) thì suy ra $b+c\le 2a$ suy ra $b+c=2a$ hoắc $b+c=a$
TH1:b+c=2a suy ra a=b=c thì tổng kia =6<8 đúng
TH2:b+c=a, suy ra c=a-b thay nốt vào 2 cái kia ta được
+,$b|a+a-b$ suy ra $b|2a$ (1)
+,$(a-b)|a+b$ suy ra $a-b|2b$ suy ra $a\le 3b$ (2)
chú ý $a=b+c\ge b+1$ nên từ 1 và 2 suy ra
$a\in {\dfrac{3b}{2},2b,\dfrac{5b}{2},3b}$ (chú ý cái 3b/2 và 5b/2 là với b chẵn)
thay lại vào cái $a-b|2b$ thấy cái 5b/2 bị kích vì ko thỏa mãn.
còn lại ta thay nốt các bộ sau vào đề tính tổng: $(a,b,c)=(\dfrac{3b}{2},b,\dfrac{b}{2}),(2b,b,b),(3b,b,2b)$ thấy tổng =8,7,8
nên ta có ĐPCM
KT-PT
Do unto others as you would have them do unto you.
#3
Đã gửi 23-09-2010 - 17:35
jin195
-
- Thành viên
-
- 71 Bài viết
Hạ sĩ
cảm ơn anh ạ. 
Em đang cần c/m bài tổng quát cho bđt này như sau: cho n số nguyên dương $ x_1,x_2,...,x_n $ thỏa các phân số dạng $ \dfrac{x_{i-1}+x_{i+1}}{x_i} \in Z^{+} $ với i chạy từ 1 đến n (quy ước $ x_0=x_n $) CMR: tổng các phân số trên không vượt quá $ 3n-1 $
Em đang cần c/m bài tổng quát cho bđt này như sau: cho n số nguyên dương $ x_1,x_2,...,x_n $ thỏa các phân số dạng $ \dfrac{x_{i-1}+x_{i+1}}{x_i} \in Z^{+} $ với i chạy từ 1 đến n (quy ước $ x_0=x_n $) CMR: tổng các phân số trên không vượt quá $ 3n-1 $
#4
Đã gửi 26-09-2010 - 22:34
jin195
-
- Thành viên
-
- 71 Bài viết
Hạ sĩ
có ai có ý tưởng gì về bài tổng quát này không? 
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
