Chủ đề này có 6 trả lời

[liemprosuper]

mấy anh làm hộ em bài này=đồng dư nha
1, 2^2^2n +10 13
2, 2^2n+2 +24n +14 18

[PTH_Thái Hà]

$1)\left( {{2^{{2^{2n}}}} + 10} \right) \vdots 13 $
$2)\left( {{2^{2n + 2}} + 24n + 14} \right) \vdots 18 $

Đúng ko?

[liemprosuper]

$1)\left( {{2^{{2^{2n}}}} + 10} \right) \vdots 13 $
$2)\left( {{2^{2n + 2}} + 24n + 14} \right) \vdots 18 $

Đúng ko?

vâng ạ

[PTH_Thái Hà]

Xơi bài 2 trước:
$\left( {{2^{2n + 2}} + 24n + 14} \right) \vdots 18 $
$ \Leftrightarrow \left( {{2^{2n + 2}} + 6n - 4} \right) \vdots 18 $
Dễ thấy $ A\vdots 2 \forall n \in N^* $
Ta chỉ cần CM $A= \left( {{2^{2n + 1}} + 3n - 2} \right) \vdots 9\forall n \in {N^*} $. Thật vậy:
(+) Nếu $ n = 3k \Rightarrow A = [ {2^{6k + 1}} + 9k - 2 = 2\left( {{{64}^k} - 1} \right) + 9k ] \vdots 9 $
(+) Nếu $ n = 3k + 1 \Rightarrow A = [ {2^{6k + 3}} + 9k + 1 = 9k + \left( {{8^{2k + 1}} + 1} \right) ]\vdots 9$
(+) Nếu $ n = 3k + 2 $ $ \Rightarrow A = [ {2^{6k + 5}} + 9k + 4 = 9k + 4\left( {{2^{6k + 3}} + 1} \right) = 9k + 4\left( {{8^{2k + 1}} + 1} \right) ] \vdots 9 $

Tóm lại trong mọi trường hợp ta đều có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PTH_Thái Hà: 26-09-2010 - 22:29

[inhtoan]

$1)\left( {{2^{{2^{2n}}}} + 10} \right) \vdots 13 $

Ta có
$2^{2^{2n} } = 2^{4^n } = (2^4 )^{4^{n - 1} } = 16^{4^{n - 1} } $
Mà $16^{4^{n - 1} } \equiv 3^{4^{n - 1} } (\bmod 13)$
$ \Rightarrow 2^{2^{2n} } \equiv 3^{4^{n - 1} } (\bmod 13)$
Mặt khác, do $4^{n - 1} \equiv 1(\bmod 3)$ nên có thể đặt $4^{n - 1} = 3t + 1(t \in N)$. Khi đó
$3^{4^{n - 1} } = 3^{3t + 1} = 3.27^t $
Vì $3.27^t \equiv 3(\bmod 13)$ và $10 \equiv - 3(\bmod 13)$,
Nên $3.27^t + 10 \equiv 0(\bmod 13)$. Suy ra $2^{2^{2n} } + 10 \equiv 0(\bmod 13)$.

p/s: Phải thêm điều kiện $n \in N^*$ mới đúng...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 26-09-2010 - 23:32

[liemprosuper]

cảm ơn mấy anh

[PTH_Thái Hà]

Ta có
$2^{2^{2n} } = 2^{4^n } = (2^4 )^{4^{n - 1} } = 16^{4^{n - 1} } $
Mà $16^{4^{n - 1} } \equiv 3^{4^{n - 1} } (\bmod 13)$
$ \Rightarrow 2^{2^{2n} } \equiv 3^{4^{n - 1} } (\bmod 13)$
Mặt khác, do $4^{n - 1} \equiv 1(\bmod 3)$ nên có thể đặt $4^{n - 1} = 3t + 1(t \in N)$. Khi đó
$3^{4^{n - 1} } = 3^{3t + 1} = 3.27^t $
Vì $3.27^t \equiv 3(\bmod 13)$ và $10 \equiv - 3(\bmod 13)$,
Nên $3.27^t + 10 \equiv 0(\bmod 13)$. Suy ra $2^{2^{2n} } + 10 \equiv 0(\bmod 13)$.

p/s: Phải thêm điều kiện $n \in N^*$ mới đúng...

Cách khác, ý tưởng chắc cũng giống của anh inhtoan
$ \Leftrightarrow \left( {{2^{{4^n}}} + 10} \right) \vdots 13 $
$\left. \begin{array}{l} {4^n} \equiv 1\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow {4^n} = 3k + 1 \\ k \equiv 1\left( {\bmod 4} \right) \Rightarrow k = 4m + 1 \\ \end{array} \right\} \Rightarrow {4^n} = 12m + 4 $
$ \Rightarrow \left( {{2^{{4^n}}} + 10} \right) \equiv \left( {{2^{12m + 4}} + 10} \right) \equiv \left( {{{\left( {{2^6}} \right)}^{2m}}{{.2}^4} + 10} \right) $ $\equiv \left( {{{64}^{2m}}.16 + 10} \right) \equiv \left( {{{\left( { - 1} \right)}^{2m}}.16 + 10} \right) \equiv 26 \equiv 0\left( {\bmod 13} \right) \Rightarrow $ đpcm