Cho dãy $u_n$ được xác định như sau :
$ u_1=1; u_2=-1 \\ u_{n+2}=u^2_{n+1} -\dfrac{1}{2u_n}$ với mọi $n\geq1$
Tìm $\lim u_n$
Edited by zipienie, 11-04-2014 - 09:39.
#1
Posted 26-09-2010 - 15:51
maimaimottinhyeu
-
- Thành viên
-
- 57 posts
Hạ sĩ
#2
Posted 26-09-2010 - 17:14
bằng tính toán, ta thấy rằng từ $ U_7 $ trở đi, mọi $ U_n$ đều lớn hơn 0. Ta chỉ cần chứng minh từ $ U_7$ dãy đã cho tăng không bị chặn. Vì $ U_9>U_8>U_7=1.3..... $ (bấm máy) nên với $ U_{n+1} >U_n >U_{n-1}>1$, ta có:
$ U_{n+2}-U_{n+1}=U^2_{n+1}-U^2_n-\dfrac{1}{2U_n}+\dfrac{1}{2U_{n-1}}=(U_{n+1}-U_n)(U_{n+1}-U_n)+\dfrac{U_n-U_{n-1}}{2.U_n.U_{n-1}}>0 $.
Vậy, dãy đã cho tăng. Giả sử dãy đã cho có giới hạn hữu hạn, khi đó đặt giới hạn đó là a, ta có:$ a=a^2-\dfrac{1}{2a}$. Giải pt ẩn a đc nghiệm xấp xỉ 1,29, nhỏ hơn $ U_7$, do đó nó ko thỏa mãn. Vậy, giả sử sai, suy ra dãy đã cho ko tồn tại giới hạn hữu hạn. Vậy $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } U_n = +\infty$
$ U_{n+2}-U_{n+1}=U^2_{n+1}-U^2_n-\dfrac{1}{2U_n}+\dfrac{1}{2U_{n-1}}=(U_{n+1}-U_n)(U_{n+1}-U_n)+\dfrac{U_n-U_{n-1}}{2.U_n.U_{n-1}}>0 $.
Vậy, dãy đã cho tăng. Giả sử dãy đã cho có giới hạn hữu hạn, khi đó đặt giới hạn đó là a, ta có:$ a=a^2-\dfrac{1}{2a}$. Giải pt ẩn a đc nghiệm xấp xỉ 1,29, nhỏ hơn $ U_7$, do đó nó ko thỏa mãn. Vậy, giả sử sai, suy ra dãy đã cho ko tồn tại giới hạn hữu hạn. Vậy $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } U_n = +\infty$
Edited by hoangnbk, 26-09-2010 - 17:15.
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
