Chủ đề này có 2 trả lời

[Nguyễn Thái Vũ]

Lâu không vào diễn đàn hôm nay lên thấy diễn đàn ta sôi nổi quá cảm hứng post tặng vài bài:
1. Tìm tất cả bộ 3 số nguyên dương (x,y,z) sao cho:
$(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)=2$
(United Kingdom MO)
2.Giải PT nghiệm nguyên:
$(x^2-y^2)^2=16y+1$
Russian MO.
3. CMR với mọi n nguyên dương PT sau có nghiệm nguyên :
$x^2+xy+y^2=7^{n}$
Dorin Andrica
4. Tìm tất cả bộ 3 số nguyên dương (k,x,n) sao cho
$3^{k}-1=x^{n}$
Italian MO.
5. Giải PTNN dương.
$1+x_{1}+2x_{1}x_{2}+...+(n-1)x_{1}x_{2}...x_{n-1}=x_{1}x_{2}x_{3}...x_{n}$
Titu Andreescu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Thái Vũ: 03-10-2010 - 00:10

[anh qua]

4. Tìm tất cả bộ 3 số nguyên dương (k,x,n) sao cho
$3^{k}-1=x^{n}$
Italian MO.

+) n chẵn thì $ x^n+1 $ chia cho 3 dư 1 hoặc 2 th này loại.
+) n lẻ $=>3^k=(x+1)(x^{n-1}-x^{n-2}+.....-x+1)$
=>x+1 và $(x^{n-1}-x^{n-2}+.....-x+1)$ là lũy thừa của 3.
mà $(x^{n-1}-x^{n-2}+.....-x+1) >x+1$
$=>(x^{n-1}-x^{n-2}+.....-x+1) \vdots (x+1)$
mặt khác: $(x^{n-1}-x^{n-2}+.....-x+1) \equiv n (mod x+1).$
=>n chia hết cho 3.
Đặt $n= 3m$ và $x^m=y $suy ra: $3^k=(y+1)(y^2-y+1)$
$=> y+1=3^l$
-Nếu $l > 1$ ta có: $3^{3l-1} < 3^k =(y+1)(y^2-y+1) <3^{3l} $(vô lí)
-Nếu $l=1=> y=2 =>k=2, n=3,x=2.$
Vậy $x=2,k=2,n=3.$
@ anh Vũ: lần sau huynh nên cho mấy bài này zô box THPT thì hợp lí hơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 04-10-2010 - 20:14

[lipboy9x]

de thay 1+1!+2.2!+....+(n-1).(n-1)!=n!