Câu I Tìm các số $x,y$ nguyên dương thỏa mãn:
$(x+1)^4+(x+2)^4+...+(x+2011)^4=4^y$
Câu II Cho $a_o,a_1 >0$. Xét dãy $a_n$ thỏa mãn:
$a_{n+1}=\dfrac{2}{a_n+a_{n-1}}$
Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
Câu III Giả sử $D$ là một điểm nằm trong tam giác $ABC$ với ba góc nhọn thỏa mãn các điều kiện:
a)$\widehat{ADB}= \widehat{ACB}+60$
b)$DA.BC=DB.CA$
Chứng minh rằng: $DC.AB=DA.BC$
Câu IV Tìm số các hoán vị $(a_1,a_2...a_n)$ của $(1,2....n)$ thỏa mãn các điều kiện sau:
a)$a_i \neq i$ với $i=1,2...n$
b)$a_{i+1}-a_i \le 1$ với $i=1,2....n-1$
Ngày thứ hai (3/10/2010)
Câu I Tìm $x,y,z$ thực thỏa mãn hệ phương trình sau:
$x+3y=x^3-12$
$-y+4z=y^3-6$
$9z+2x=z^3+32$
Câu II Cho $a$ là số nguyên dương có ít nhất một ước nguyên tố khác $2$ và $5$. Chứng minh rằng với $k$ là số dương bất kì, luôn t�#8220;n tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $S(n)>k.S(an)$ (kí hiệu $S(x)$ là tổng các chữ số của số nguyên dương $x$)
Câu III KÍ hiệu $I$ là tâm đương tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Đường thẳng vuông góc $IA$ tại $A$ cắt các đường thảng $BI,CI$ lần lượt tại $K,M$. Gọi $B',C'$ lần lượt là giao điểm $BI$ với $AC$ và $CI$ và $AB$. $B'C'$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $N,E$. Chứng minh rằng $M,N,E,K$ đồng viên
Câu IV Một trò chơi được chơi bởi 2 người bằng cách bẻ mỗi thanh gỗ độ dài nguyên thành hai thanh gỗ có độ dài nguyên khác nhau. Trò chơi bắt đầu với một thanh gỗ độ dài $2010$. Hai người $A,B$ chơi lần lượt, $A$ đi trước. Trò chơi kết thúc khi các thanh gỗ có độ dài $1$ hoặc $2$ , khi đó ta không thể bẻ tiếp được nữa.
Nếu kết thúc có nhiều thanh độ dài $1$ hơn thanh độ dài $2$ thì người đi bước cuối thắng; nếu có nhiều thanh độ dài $2$ hơn thì người đi bước cuối thua, nêu số lượng hai loại thanh đó bằng nhau thì trò chơi hòa. Giả sử cả hai người đều chơi rất giỏi, xác định kết quả trò chơi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi abstract: 03-10-2010 - 12:14
