Chủ đề này có 4 trả lời

[quoctrungtrinh]

Cho tam giác ABC có BF, CE là 2 phân giác cắt nhau tại O. CMR $ \dfrac{BO}{BF} . \dfrac{CO}{CE} = \dfrac{1}{2} $ khi và chỉ khi tam giác ABC vuông tại A

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoctrungtrinh: 05-10-2010 - 19:14

[dark templar]

Cho tam giác ABC có BF, CE là 2 phân giác cắt nhau tại O. CMR $ \dfrac{BO}{BF} . \dfrac{CO}{CE} = \dfrac{1}{2} $(1) khi và chỉ khi tam giác ABC vuông tại A

Có $BO=\dfrac{r}{sin\dfrac{B}{2}},CO=\dfrac{r}{sin\dfrac{C}{2}}$
$BF=\dfrac{2ca.cos\dfrac{B}{2}}{c+a},CE=\dfrac{2ab.cos\dfrac{C}{2}}{a+b}$
nên $(1)<=>\dfrac{r(a+b)}{2ab.sin\dfrac{C}{2}.cos\dfrac{C}{2}}.\dfrac{r(c+a)}{2ca.sin\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{B}{2}}=\dfrac{1}{2}$
$<=>r^2(a+b)(a+c)=\dfrac{a^2bc.sinB.sinC}{2}$(định lý sin:$\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}=2R$ với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
$<=>r^2(a+b)(a+c)=\dfrac{a^2b^2c^2}{8R^2}=2S_{ABC}^2$($\dfrac{abc}{4R}=S_{ABC}$)
$<=>(a+b)(a+c)=2p^2$($S_{ABC}=pr $trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC và p là nửa chu vi tam giác ABC)
$<=>a^2+ab+bc+ca=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}+ab+bc+ca$
$<=>a^2=b^2+c^2$
$<=>$ Tam giác ABC vuông tại A(Định lý Py-ta-go đảo)(đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 05-10-2010 - 20:08

[nguyenthanhmy]

Cho tam giác ABC có BF, CE là 2 phân giác cắt nhau tại O. CMR $ \dfrac{BO}{BF} . \dfrac{CO}{CE} = \dfrac{1}{2} $ khi và chỉ khi tam giác ABC vuông tại A

bạn có cho sai đề không khi vẻ hình dù cho là trường hợp đặc biệt thì khi nhân chéo 2BO.CO=BF.CE
vì BO và CO là 2 cạnh dài trong tam giác OFC và tam giác OEB nên đẳng thức trên là vô lí

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthanhmy: 05-10-2010 - 20:02

[dark templar]

bạn có cho sai đề không khi vẻ hình dù cho là trường hợp đặc biệt thì khi nhân chéo 2BO.CO=BF.CE
vì BO và CO là 2 cạnh dài trong tam giác OFC và tam giác OEB nên đẳng thức trên là vô lí

Đề bài cho đúng rồi đó em !Anh đã cm ở trên rồi đó!

[novae]

Có $BO=\dfrac{r}{sin\dfrac{B}{2}},CO=\dfrac{r}{sin\dfrac{C}{2}}$
$BF=\dfrac{2ca.cos\dfrac{B}{2}}{c+a},CE=\dfrac{2ab.cos\dfrac{C}{2}}{a+b}$
nên $(1)<=>\dfrac{r(a+b)}{2ab.sin\dfrac{C}{2}.cos\dfrac{C}{2}}.\dfrac{r(c+a)}{2ca.sin\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{B}{2}}=\dfrac{1}{2}$
$<=>r^2(a+b)(a+c)=\dfrac{a^2bc.sinB.sinC}{2}$(định lý sin:$\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}=2R$ với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
$<=>r^2(a+b)(a+c)=\dfrac{a^2b^2c^2}{8R^2}=2S_{ABC}^2$($\dfrac{abc}{4R}=S_{ABC}$)
$<=>(a+b)(a+c)=2p^2$($S_{ABC}=pr $trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC và p là nửa chu vi tam giác ABC)
$<=>a^2+ab+bc+ca=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}+ab+bc+ca$
$<=>a^2=b^2+c^2$
$<=>$ Tam giác ABC vuông tại A(Định lý Py-ta-go đảo)(đpcm)

cần gì dài dòng thế: http://forum.mathsco...ead.php?t=13650