Chủ đề này có 3 trả lời

[harrypottermc9x]

Cho (O;R), dây cung BC cố định(BC < 2R) và điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao BD, CE cắt nhau tại H.
a)Chứng minh ADHE nội tiếp;
b)Gỉa sử góc BAC bằng 60 độ , hãy tính khoảng cách từ O đến BC theo R;
c)Chứng minh đường thẳng kẻ qua A vuông góc với DE luôn đi qua một điểm cố định.

[dark templar]

Cho (O;R), dây cung BC cố định(BC < 2R) và điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao BD, CE cắt nhau tại H.
a)Chứng minh ADHE nội tiếp;
b)Gỉa sử góc BAC bằng 60 độ , hãy tính khoảng cách từ O đến BC theo R;
c)Chứng minh đường thẳng kẻ qua A vuông góc với DE luôn đi qua một điểm cố định.

Em tự vẽ hình theo dõi nhé!
Câu a:
Có $\widehat{AEH} = \widehat{ADH} =90^0$(do BD,CE là các đường cao)=>ADHE nội tiếp
Câu b:
Có $ \widehat{BAC}=60^0=> \widehat{BOC}=120^0$(góc ở tâm gấp góc chắn cung)
Kẻ $OX \perp BC(X \in BC)$=>OX là đường phân giác góc BOC (do tam giác BOC cân tại O và $OX \perp BC$)
=>$ \widehat{XOC} =60^0$
Có $OX=cosXOC.OC=cos60^0.R=\dfrac{R}{2}$
Câu c:
Kẻ đường kính AOF ,$AF \cap DE=G$ và $ \widehat{ACF} =90^0$(góc chắn nửa đường tròn)
Có tứ giác BEDC nội tiếp (do $ \widehat{BEC}= \widehat{BDC} =90^0$-góc cùng nhìn BC)
=>$ \widehat{ADG} = \widehat{ABC}$
Mà $ \widehat{ABC} = \widehat{AFC} $(do $A,B,C,F \in (O)$=>tứ giác ABFC nội tiếp)
Nên $ \widehat{ADG} = \widehat{AFC} $
=>tứ giác GDCF nội tiếp (góc ngoài =góc đối trong)
=>$ \widehat{AGD} = \widehat{ACF} =90^0$
=>$AF \perp DE$
Vậy đường thẳng qua A vuông góc với DE sẽ đi qua điểm O cố định

[harrypottermc9x]

Em tự vẽ hình theo dõi nhé!
Câu a:
Có $\widehat{AEH} = \widehat{ADH} =90^0$(do BD,CE là các đường cao)=>ADHE nội tiếp
Câu b:
Có $ \widehat{BAC}=60^0=> \widehat{BOC}=120^0$(góc ở tâm gấp góc chắn cung)
Kẻ $OX \perp BC(X \in BC)$=>OX là đường phân giác góc BOC (do tam giác BOC cân tại O và $OX \perp BC$)
=>$ \widehat{XOC} =60^0$
Có $OX=cosXOC.OC=cos60^0.R=\dfrac{R}{2}$
Câu c:
Kẻ đường kính AOF ,$AF \cap DE=G$ và $ \widehat{ACF} =90^0$(góc chắn nửa đường tròn)
Có tứ giác BEDC nội tiếp (do $ \widehat{BEC}= \widehat{BDC} =90^0$-góc cùng nhìn BC)
=>$ \widehat{ADG} = \widehat{ABC}$
Mà $ \widehat{ABC} = \widehat{AFC} $(do $A,B,C,F \in (O)$=>tứ giác ABFC nội tiếp)
Nên $ \widehat{ADG} = \widehat{AFC} $
=>tứ giác GDCF nội tiếp (góc ngoài =góc đối trong)
=>$ \widehat{AGD} = \widehat{ACF} =90^0$
=>$AF \perp DE$
Vậy đường thẳng qua A vuông góc với DE sẽ đi qua điểm O cố định

em cảm ơn thầy nhé

[perfectstrong]

em cảm ơn thầy nhé

Thưa thầy, câu b vẫn còn một cách giải ngắn gọn hơn nữa.
Vẽ tiếp tuyến Ax của (O) sao cho Ax thuộc nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B.
suy ra, $Ax \bot OA$
Dễ dàng chứng minh tam giác ABC và tam giác AED đồng dạng. Nên $\angle AED = \angle ABC = \angle xAE$ (2 góc cùng chắn một cung)
Suy ra Ax//DE. Mà $Ax \bot OA$ nên ta có $DE \bot OA$. Mà O cố định nến ta có đpcm.