Chủ đề này có 3 trả lời

[kingyo]

cho :$ax^3=by^3=cz^3$
và $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$
CMR:
$ \sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}$ =$ \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} +\sqrt[3]{c}$

Tiêu đề của bạn đã đặt sai.Bạn tham khảo cách đặt tiêu đề tại đây

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 02-03-2013 - 13:28

[dark templar]

cho : $ax^3=by^3=cz^3$
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$
CMR:
$ \sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}= \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c}$

[dark templar]

cho : ax³=by³=cz³
1/x+1/y+1/z=1
CMR:
$ \sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}$ =$ \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} +\sqrt[3]{c}$(1)

(1)<=>$ax^2+by^2+cz^2=(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})^3$
Có $VT=(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})(ax^2+by^2+cz^2)$
$ \geq (\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})^3$(BĐT Holder)
Do $ax^3=by^3=cz^3$ nên dấu "=" của BĐT trên xày ra
=>đpcm

[h.vuong_pdl]

không cần phức tạp như vậy đâu dark_templar à ???
đặt $ax^3 = by^3 = cz^3 = k^3$
=> $\sqrt[3]{a} = \dfrac{k}{x}, \sqrt[3]{b} = \dfrac{k}{y}, \sqrt[3]{c} = \dfrac{k}{z}$
=> $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} = \dfrac{k}{x} + \dfrac{k}{y} + \dfrac{k}{z} = k$
mạt khác lại có: ax^2 = \dfrac{k^3}{x}, .....
=> $ax^2 + by^2 + cz^2 = \dfrac{k^3}{x} + \dfrac{k^3}{y} + \dfrac{k^3}{z} = k^3$
=> $\sqrt[3]{ax^2 + by^2 + cz^2} = k$
Vậy ta có đpcm!