Chủ đề này có 5 trả lời

[supaman]

$1) x,y,z >0. x+y+z \leq 1$
CMR:
$ \sqrt{x^2 + \dfrac{1}{x^2}} + \sqrt{y^2 + \dfrac{1}{y^2}} + \sqrt{z^2 + \dfrac{1}{z^2}} \geq \sqrt{82}$

2) $a+b+c= \dfrac{3}{4}. a,b,c > 0$. CMR:

$\sqrt[3]{a + 3b} + \sqrt[3]{b + 3c} + \sqrt[3]{c + 3a} \leq 3$

3) $a,b,c > 0 . \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 3.$
CMR:
$(1+a)(1+b)(1+c) \geq 8 $

4) $x,y \in R. (x+y)xy = x^2 + y^2 - xy$
Tìm Min:

$A= \dfrac{1}{x^3} + \dfrac{1}{y^3}$

5) abc=1. Tìm min:

$A= \dfrac{bc}{a^2b + a^2c} + \dfrac{ac}{b^2c +b^2a} + \dfrac{ab}{c^2a + c^2b}$

[h.vuong_pdl]

1) áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: (bunhiacopski) ta có:
$(\dfrac{1}{9} + 9)(x^2 + \dfrac{1}{x^2}) \ge (\dfrac{x}{3} + \dfrac{3}{x})^2$
tương tự ta có BDT cần C/m:
$\dfrac{\sqrt{82}}{3}VT \ge \dfrac{x+y+z}{3} + 3(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}) \\ \ge \dfrac{x+y+z}{3} + \dfrac{27}{x+y+z} = \dfrac{x+y+z}{3} + \dfrac{1}{3(x+y+z)} + \dfrac{80}{3(x+y+z)} \\ \ge 2\sqrt{\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}} + \dfrac{80}{3} = \dfrac{82}{3}$
(do $x+y+z \le 1$)
Vậy $VT \ge \sqrt{82} = dpcm!$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi h.vuong_pdl: 11-10-2010 - 20:03

[h.vuong_pdl]

Bài 2) Áp dụng BDT cô-si cho 3 số :
$(a+3b) + 1 + 1 \ge 3\sqrt[3]{a+3b}$
tương tự ta có:
$4(a+b+c) + 6 \ge 3VT$
hay : $3VT \le 3 + 6 = 9 => VT \le 3 = dpcm!$

[h.vuong_pdl]

Bài 5) thực chất là BDT nesbitt dưới dạng khác (sau khi chia và đặt để có đk $abc = 1$)
Môtk trong các lời giải bài trên như sau:
$VT = \dfrac{bc}{a^2(b+c)} + \dfrac{ca}{b^2(c+a)} + \dfrac{ab}{c^2(a+b)} = \dfrac{b^2c^2}{a(b+c)} + \dfrac{c^2a^2}{b(c+a)} + \dfrac{a^2b^2}{c(a+b)} \\ \ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{2(ab+bc+ca)} = \dfrac{ab+bc+ca}{2} \ge \dfrac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2} = \dfrac{3}{2}$
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz và BDT AM- GM
Vậy $min_{VT} = \dfrac{3}{2}!$

[hoangnbk]

Bài 3:
$ 3=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{xyz}} \Rightarrow xyz \geq 1$
theo bdt Holder $ (1+x)(1+y)(1+z) \geq (1+\sqrt[3]{xyz})^3 \geq (1+1)^3=8$

[h.vuong_pdl]

Bài 4) chú ý:
đặt $S = x+y, P = xy$ thì giả thiết <=> $SP = S^2 - 3P => P = \dfrac{S^2}{S+3}$
$A = \dfrac{1}{x^3} + \dfrac{1}{y^3} = frac{x^3 + y^3 }{x^3y^3} = frac{(x+y)(x^2-xy+y^2}{x^3y^3} \\ = \dfrac{(x+y)^2}{x^2y^2} = \dfrac{S^2}{P^2} = \dfrac{(S+3)^2}{S^2} = (\dfrac{3}{S} + 1)^2$
lại chú ý: mọi $x,y \in R$ thì ta dều có: $4xy \le (x+y)^2 <=> 4P \le S^2$
do đó: $\dfrac{4S^2}{S+3} \le S^2 <=> S \ge 1$
Vậy $A \ge (\dfrac{3}{1} + 1)^2 = 16$
Vậy $min_A = 16$
đạt được khi và chỉ khi $x = y = \dfrac{1}{2}$