Đường cao của tứ giác
#1
Đã gửi 20-07-2005 - 11:36
- Mai Xuan Son và huykinhcan99 thích
#2
Đã gửi 06-05-2013 - 19:55
Bài toán thuận đã có ở đây
http://diendantoanho...a-d-xuống-bcab/
Như vậy, có thể phát biểu bài toán này tương đương.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 06-05-2013 - 19:57
#3
Đã gửi 09-07-2013 - 11:21
Gọi tứ giác lồi là ABCD
Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của tứ giác lồi ABCD có ME,NF,PG,QH là 4 đường cao.
+) Nếu ABCD nội tiếp đường tròn tâm O:
Gọi I là giao điểm của ME và PG (1) $\Rightarrow$ $QMIP$ là hình bình hành (vì $MI\parallel OP;PI\parallel OM$)
Mặt khác MNPQ cũng là hình bình hành. Do đó dễ dàng thấy ONIQ cũng là hình bình hành (vì $MI\parallel OP;MN\parallel PQ\Rightarrow NI\parallel OQ\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & NI\parallel OQ\Rightarrow NI\perp AD\Rightarrow N,I,F thẳng hàng (2)& \\ & QI\parallel ON\Rightarrow QI\perp BC\Rightarrow Q,I,H thẳng hàng (3) & \end{matrix}\right.$
Từ (1),(2),(3) $\Rightarrow$ ME,NF,PG,QH đồng quy tại I.
+) Nếu 4 đường cao ME,NF,PG,QH đồng quy tại I
Gọi O là giao điểm 2 đường trung trực của AB,CD$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & OA=OB; OC=OD (4) & \\ & OMIP là hình bình hành & \end{matrix}\right.$
Mặt khác MNPQ cũng là hình bình hành
Tương tự như câu a ta cũng suy ra ONIQ là hình bình hành
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & OQ\parallel NI\Rightarrow OQ\perp AD\Rightarrow OQ là trung trực của AD \Rightarrow OA=OD (5) & \\ & ON\parallel QI\Rightarrow ON\perp BC\Rightarrow ON là trung trực của BC \Rightarrow OB=OC (6) & \end{matrix}\right.$
Từ (4),(5),(6)$\Rightarrow OA=OB=OC=OD$ $\Rightarrow ABCD$ nội tiếp (O).
Vậy bài đã được chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 09-07-2013 - 18:43
- perfectstrong, LNH, aao5717 và 4 người khác yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh