2 replies to this topic

[QUANVU]

Một đường cao của một tứ giác lồi là đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và vuông góc với cạnh đối.Chứng minh rằng bốn đường cao đồng quy khi và chỉ khi tứ giác là nội tiếp.

[Nxb]

Bài toán thuận đã có ở đây 

http://diendantoanho...a-d-xuống-bcab/

Như vậy, có thể phát biểu bài toán này tương đương.

Edited by Nxb, 06-05-2013 - 19:57.

[AnnieSally]

Gọi tứ giác lồi là ABCD

Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của tứ giác lồi ABCD có ME,NF,PG,QH là 4 đường cao.

+) Nếu ABCD nội tiếp đường tròn tâm O:

Gọi I là giao điểm của ME và PG (1) $\Rightarrow$ $QMIP$ là hình bình hành (vì $MI\parallel OP;PI\parallel OM$)

Mặt khác MNPQ cũng là hình bình hành. Do đó dễ dàng thấy ONIQ cũng là hình bình hành (vì  $MI\parallel OP;MN\parallel PQ\Rightarrow NI\parallel OQ\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & NI\parallel OQ\Rightarrow NI\perp AD\Rightarrow N,I,F thẳng hàng (2)& \\ & QI\parallel ON\Rightarrow QI\perp BC\Rightarrow Q,I,H thẳng hàng (3) & \end{matrix}\right.$

Từ (1),(2),(3) $\Rightarrow$ ME,NF,PG,QH đồng quy tại I.

+) Nếu 4 đường cao ME,NF,PG,QH đồng quy tại I

Gọi O là giao điểm 2 đường trung trực của AB,CD$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & OA=OB; OC=OD (4) & \\ & OMIP là hình bình hành & \end{matrix}\right.$

Mặt khác MNPQ cũng là hình bình hành

Tương tự như câu a ta cũng suy ra ONIQ là hình bình hành

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & OQ\parallel NI\Rightarrow OQ\perp AD\Rightarrow OQ là trung trực của AD \Rightarrow OA=OD (5) & \\ & ON\parallel QI\Rightarrow ON\perp BC\Rightarrow ON là trung trực của BC \Rightarrow OB=OC (6) & \end{matrix}\right.$

Từ (4),(5),(6)$\Rightarrow OA=OB=OC=OD$ $\Rightarrow ABCD$ nội tiếp (O).

Vậy bài đã được chứng minh.  

Edited by AnnieSally, 09-07-2013 - 18:43.