Chủ đề này có 2 trả lời

[xuyhuli10tn3]

Cho tam giác ABC có AB = c;BC = a;CA = b . Gọi $l_a, l_b ,l_c$lần lượt là độ
dài các đường phân giác trong và $r_a, r_b, r_c$ lần lượt là bán kính các đường tròn
bàng tiếp của các góc A, B, C của tam giác ABC. Chứng minh rằng:$bc.cos^2 \dfrac{A}{2}+ac.cos^2 \dfrac{B}{2}+ab.cos^2 \dfrac{C}{2}\geq r_a.l_a+ r_b.l_b+ r_c.l_c $

[xuyhuli10tn3]

có ai làm k, nếu biết thì nói cách làm thui cũng đc

[dark templar]

Cho tam giác ABC có AB = c;BC = a;CA = b . Gọi $l_a, l_b ,l_c$lần lượt là độ
dài các đường phân giác trong và $r_a, r_b, r_c$ lần lượt là bán kính các đường tròn
bàng tiếp của các góc A, B, C của tam giác ABC. Chứng minh rằng:$bc.cos^2 \dfrac{A}{2}+ac.cos^2 \dfrac{B}{2}+ab.cos^2 \dfrac{C}{2}\geq r_a.l_a+ r_b.l_b+ r_c.l_c $

$VT = bc\cos ^2 \dfrac{A}{2} + ac\cos ^2 \dfrac{B}{2} + ab\cos ^2 \dfrac{C}{2} $
$= \dfrac{1}{2}bc\left( {1 + \cos A} \right) + \dfrac{1}{2}ac\left( {1 + \cos B} \right) + \dfrac{1}{2}ab\left( {1 + \cos C} \right) $
$= \dfrac{1}{2}\left( {ab + bc + ca} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {bc\cos A + ac\cos B + ab\cos C} \right)$
$= \dfrac{1}{2}\left( {ab + bc + ca} \right) + \dfrac{1}{4}\left( {b^2 + c^2 - a^2 + a^2 + c^2 - b^2 + a^2 + b^2 - c^2 } \right) $
$= \dfrac{1}{4}\left( {a + b + c} \right)^2 = p^2 $
$\bullet r_a l_a = \dfrac{S}{{p - a}}.\dfrac{2}{{b + c}}\sqrt {bcp\left( {p - a} \right)} = \sqrt {\dfrac{{p\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}}{{p - a}}} .\dfrac{2}{{b + c}}\sqrt {bcp\left( {p - a} \right)}$
$= \dfrac{{2\sqrt {bc} }}{{b + c}}.p\sqrt {\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \le p.\dfrac{{p - b + p - c}}{2} = \dfrac{{ap}}{2}\left( {AM - GM} \right) $
$\Rightarrow VP = r_a l_a + r_b l_b + r_c l_c \le \dfrac{{a + b + c}}{2}.p = p^2 = VT\left( {dpcm} \right) $