Chủ đề này có 1 trả lời

[khacduongpro_165]

Giả sử $ 0 \le x,y,z \le 1$. Chứng minh rằng:
$ (2^x+2^y+2^z)(2^{-x}+2^{-y}+2^{-z}) \le \dfrac{81}{8}$.

[dark templar]

Giả sử $ 0 \le x,y,z \le 1$. Chứng minh rằng:
$ (2^x+2^y+2^z)(2^{-x}+2^{-y}+2^{-z}) \le \dfrac{81}{8}$.

Đặt $a=2^x,b=2^y,c=2^z $
Xét hàm $f(t)=2^t(t \in [0;1])$
$f'(t)=2^t.ln2>0 \Rightarrow f(t)$ đồng biến trên [0;1]
$ \Rightarrow f(0) \leq f(t) \leq f(1) \Rightarrow 1 \leq a,b,c \leq 2$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 1} \right)\left( {a - 2} \right) \le 0 \\ \left( {b - 1} \right)\left( {b - 2} \right) \le 0 \\ \left( {c - 1} \right)\left( {c - 2} \right) \le 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a^2 - 3a + 2 \le 0 \\ b^2 - 3b + 2 \le 0 \\ c^2 - 3c + 2 \le 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + \dfrac{2}{a} \le 3 \\ b + \dfrac{2}{b} \le 3 \\ c + \dfrac{2}{c} \le 3 \\ \end{array} \right. $
$\Rightarrow a + b + c + 2\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \le 9 $
$\Rightarrow 2\sqrt {2\left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)} \le a + b + c + 2\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \le 9\left( {AM - GM} \right)$
$\Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \le \dfrac{{81}}{4}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{{81}}{8}$
$\Rightarrow \left( {2^x + 2^y + 2^z } \right)\left( {2^{ - x} + 2^{ - y} + 2^{ - z} } \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \le \dfrac{{81}}{8}\left( {dpcm} \right) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 29-11-2010 - 22:20