Chủ đề này có 1 trả lời

[khacduongpro_165]

Không sử dụng phương pháp quy nạp, hãy chứng minh bđt sau:
NẾU a LÀ SỐ NGUYÊN LỚN HƠN 1, VÀ n LÀ SỐ NGUYÊN LỚN HƠN HOẶC BẰNG $a^2$ (n $a^{2})$ THÌ: $a^{n}$ $n^{a}$.
không lôgarit!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khacduongpro_165: 30-11-2010 - 00:41

[dark templar]

Không sử dụng phương pháp quy nạp, hãy chứng minh bđt sau:
NẾU a LÀ SỐ NGUYÊN LỚN HƠN 1, VÀ n LÀ SỐ NGUYÊN LỚN HƠN HOẶC BẰNG a^2 ($n \geq a^{2}$ )THÌ: $a^{n} \geq n^{a}$.
không lôgarit!

BĐT bạn đưa ra ko đúng cho mọi số n và a thỏa đk
Chứng minh:
$a^n \ge n^a \left( {n,a \in N^* ;a \ge 2,n \ge a^2 \ge 4,n>a} \right) $
$\Leftrightarrow e^{n\ln a} \ge e^{a\ln n} \Leftrightarrow n\ln a \ge a\ln n \Leftrightarrow \dfrac{n}{{\ln n}} \ge \dfrac{a}{{\ln a}} $
$f\left( x \right) = \dfrac{x}{{\ln x}}\left( {x \ge 2} \right)$
$f'\left( x \right) = \dfrac{{\ln x - 1}}{{\ln ^2 x}};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = e $
sử dụng bảng biến thiên ,ta dễ dàng có :
$f(x)$ đồng biến trên $\left[ {2;e} \right)$ và nghịch biến trên $\left( {e; + \infty } \right)$
Lấy n và a thuộc $\left( {e; + \infty } \right)$ thì ta có $f(n)<f(a) \Leftrightarrow \dfrac{n}{{\ln n}} < \dfrac{a}{{\ln a}} $ Mâu thuẫn với đpcm !