Chủ đề này có 20 trả lời

[SLNA]

Cho a,b,c là các số thực không âm. Không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng:
$\2a^2+2b^2+2c^2$ $\3ab(a+b)(a+b-c)/a^2+ab+b^2$

[dark templar]

Cho a,b,c là các số thực không âm. Không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng:
$\2a^2+2b^2+2c^2 \geq \sum \3ab(a+b)(a+b-c)/a^2+ab+b^2$

Sử dụng 1 chút đánh giá sau:
$a^2 + b^2 + ab \ge \dfrac{3}{4}\left( {a + b} \right)^2 $(khai triển để chứng minh)
Ta có:
$VP \le 4\sum {\dfrac{{ab\left( {a + b} \right)^2 - abc(a+b)}}{{\left( {a + b} \right)^2 }}} = 4\sum {ab - 4abc\sum {\dfrac{1}{{\left( {a + b} \right)}}} } $
Ta sẽ chứng minh :
$4\sum {ab - 4abc\sum {\dfrac{1}{{\left( {a + b} \right)}}} } \le VT = 2\sum {a^2 } $
$\Leftrightarrow 2\sum {ab - \sum {a^2 } } \le 2abc\sum {\dfrac{1}{{\left( {a + b} \right) }}}$
Thật vậy ,ta có :
$2\sum {ab - \sum {a^2 } } \le \dfrac{{9abc}}{{a + b + c}}\left( {Schur} \right)$
Việc còn lại chỉ là chứng minh:
$\dfrac{{9abc}}{{a + b + c}} \le 2abc\sum {\dfrac{1}{{\left( {a + b} \right)}}} \Leftrightarrow \sum a \sum {\dfrac{1}{{\left( {a + b} \right)}} \ge \dfrac{9}{2}} $
$\Leftrightarrow \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {b + c} \right) + \left( {c + a} \right)} \right]\left( {\sum {\dfrac{1}{{a + b}}} } \right) \ge 9\left( {True - AM - GM} \right)$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c;a=0,b=c$ hoặc các hoán vị tương ứng !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 15-12-2010 - 16:46

[SLNA]

Trong đề không cho điều kiện a+b-c 0, b+c-a 0, a+c-b 0

[dark templar]

Trong đề không cho điều kiện a+b-c 0, b+c-a 0, a+c-b 0

Bài này mình chỉ biến đổi tương đương từ đề ra mà thôi!Bạn đọc kỹ bài giải của mình đi nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 12-12-2010 - 17:04

[SLNA]

Nhưng sao lại có đánh giá $\ a^2 +b^2 +c^2 $ $\ (a+b)^2 $

[dark templar]

Nhưng sao lại có đánh giá $\ a^2 +b^2 +c^2 \geq (a+b)^2 $

Bạn đọc kỹ nhé!Mình ghi là $a^2+b^2+ab \geq \dfrac{3}{4}(a+b)^2$!$ab$ chứ ko phải là $c^2$!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 15-12-2010 - 17:37

[SLNA]

Xin lỗi mình đánh nhầm nhưng tại sao lại có đánh giá $\ a^2 + ab + b^2 $ $\ 3/4(a+b)^2 $. Trong khi chúng ta chưa rõ a+b-c 0 hay a+b-c 0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SLNA: 12-12-2010 - 17:18

[dark templar]

Xin lỗi mình đánh nhầm nhưng tại sao lại có đánh giá $\ a^2 + ab + b^2 \geq 3/4(a+b)^2 $. Trong khi chúng ta chưa rõ a+b-c 0 hay a+b-c 0

Đánh giá mình đưa ra ko cần đk $a+b-c \geq 0$ hay $a+b-c \leq 0$(thực tế nó ko dính dáng đến biến $c$ nữa mà !)
Chứng minh:
$a^2 + b^2 + ab \ge \dfrac{3}{4}\left( {a + b} \right)^2 $
$\Leftrightarrow 4\left( {a^2 + b^2 + ab} \right) \ge 3\left( {a^2 + b^2 + 2ab} \right)$
$\Leftrightarrow a^2 + b^2 \ge 2ab \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)^2 \ge 0\left( {True} \right) $
OK???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 15-12-2010 - 17:38

[SLNA]

Nhưng chúng ta chưa biết a+b-c 0 mà áp dụng

[dark templar]

Bạn đọc ko hiểu àh!Đánh giá này ko cần điều kiện cho a,b!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 12-12-2010 - 17:35

[SLNA]

Trong bài này a,b,c liên quan đến nhau

[dark templar]

Ah!Mình hiểu ý bạn ở trên rồi !Có thể $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác ko?????

[SLNA]

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c hoặc a=b; c=0 và các hoán vị nên a,b,c không là ba cạnh của một tam giác

[SLNA]

Cho a,b,c là các số thực không âm. Không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng:
$\3ab(a+b)(a+b-c)/a^2+ab+b^2$ 2ab+2ac+2bc
Một phát hiện của guiguzi bên mathlinks

[dark templar]

SLNA có thể cho anh lời giải của BĐT ở đầu topic đc ko?BĐT của em có vẻ chặt đấy !
Anh biến đổi ra đến khúc $\sum {ab} \sum {\dfrac{1}{{a^2 + b^2 + ab}} \ge 3} $ thì bí luôn !
Dùng đủ mọi cách mà ko đc !Nếu đc share anh lời giải nhé!Thanks!

[SLNA]

$\ (a-b)^2(a+b)(a+b-c)/ a^2+ab+b^2 $
Giả sử a b c thì ta được $\ S_{b} $, $\ S_{c} $ 0
Ta cần chứng minh $\ a^2 S_{b} $+$\ b^2 S_{a} $ 0

[dark templar]

$\Leftrightarrow \sum (a-b)^2(a+b)(a+b-c)/ a^2+ab+b^2 $
Giả sử $a \geq b \geq c$ thì ta được $ S_{b} $, $\ S_{c} \geq 0$
Ta cần chứng minh $ a^2 S_{b} + b^2 S_{a} \geq 0$

Chuyển qua xài Tex đi em nhé!

[SLNA]

Em không biết sài

[dark templar]

Em không biết sài

Thay vì bình thường em bỏ công thức Toán vào cặp thẻ Latex-/Latex thì giờ em bỏ vô tex-/tex thôi !
Tham khảo ở đây

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 16-12-2010 - 12:32

[SLNA]

Em đang cần một cách giải cổ điển cho bài toán này