BDT(trích đề chuyên toán Thái Bình)
#1
Đã gửi 11-12-2010 - 23:29
Tìm min và max của B=$ x^{2}-xy+2y^{2} $
#2
Đã gửi 12-12-2010 - 12:22
$B = x^2 - xy + 2y^2 (1)$: phương trình bậc 2 ẩn x, tham số y.
Xét: $\vartriangle = y^2 - 8y^2 = - 7y^2 \leqslant 0$
Mà phương trình (1) có nghiệm nên $\vartriangle \geqslant 0$. Suy ra, $\vartriangle = 0 \Rightarrow y = 0 $
Suy ra, B=1.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#3
Đã gửi 12-12-2010 - 17:36
Xét pt ẩn x
$x^2+yx+y^2-1=0$
$ \Delta = 4-3y^2 \geq 0 \Leftrightarrow y^2 \leq \dfrac{3}{4} $
Với điều kiện đó thì ta có:
$x_{1,2}=\dfrac{-y\pm\sqrt{4-3y^2}}{2}$
$2x_{1,2}^2=2-y^2\pm\sqrt{y^2(4-3y^2)}$
Do đó ta có:
$2-y^2-\sqrt{y^2(4-3y^2)} \leq 2x^2 \leq 2-y^2+\sqrt{y^2(4-3y^2)}$
$B=x^2+2y^2-xy=2x^2+3y^2-1$ (theo giả thiết)
Suy ra
$1+2y^2-\sqrt{y^2(4-3y^2)} \leq B \leq 1+2y^2+\sqrt{y^2(4-3y^2)}$
Đến đây...
Dùng cân bằng hệ số Cauchy
Tìm Max trước:
$\sqrt{y^2(4-3y^2)}=\dfrac{1}{\sqrt{7}-2}\sqrt{(11-4\sqrt{7})y^2(4-3y^2)} \leq \\ \leq \dfrac{(11-4\sqrt{7})y^2+4-3y^2}{2(\sqrt{7}-2)}=-2y^2+\dfrac{2}{\sqrt{7}-2}$ (AM_GM)
Vậy $Max(B)=1+\dfrac{2}{\sqrt{7}-2}=\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}-2}$
Đạt được khi $(11-4\sqrt{7})y^2=4-3y^2 \Rightarrow y^2=\dfrac{2}{7-2\sqrt{7}}$ và x tương ứng
Tương tự tìm Min
$\sqrt{y^2(4-3y^2)}=\dfrac{1}{\sqrt{7}+2}\sqrt{(11+4\sqrt{7})y^2(4-3y^2)} \leq \\ \leq \dfrac{(11+4\sqrt{7})y^2+4-3y^2}{2(\sqrt{7}+2)}=2y^2+\dfrac{2}{\sqrt{7}+2}$ (AM_GM)
Do đó $Min(B)=1-\dfrac{2}{\sqrt{7}+2}=\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}+2}$
Đạt được khi $(11+4\sqrt{7})y^2=4-3y^2 \Rightarrow y^2=\dfrac{2}{7+2\sqrt{7}}$ và x tương ứng
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 15-12-2010 - 00:05
#4
Đã gửi 16-12-2010 - 21:35
Viết lại biểu thức B dưới dạng sau:
$B = \dfrac{{x^2 - xy + 2y^2 }}{{x^2 + xy + y^2 }}\left( {x^2 + y^2 + xy = 1} \right) = \dfrac{{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^2 - \dfrac{x}{y} + 2}}{{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^2 + \dfrac{x}{y} + 1}} $
$t = \dfrac{x}{y} \Rightarrow B = \dfrac{{t^2 - t + 2}}{{t^2 + t + 1}} \Leftrightarrow \left( {B - 1} \right)t^2 + \left( {B + 1} \right)t + B - 2 = 0 $
$\Delta = \left( {B + 1} \right)^2 - 4\left( {B - 1} \right)\left( {B - 2} \right) = - 3B^2 + 14B - 7 \ge 0 $
$\Leftrightarrow 3B^2 - 14B + 7 \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{{7 - 2\sqrt 7 }}{3} \le B \le \dfrac{{7 + 2\sqrt 7 }}{3} \Rightarrow \min ,\max $
P/s:Anh hxthanh ,giải như vậy ngắn gọn hơn rất nhiều ,phải ko ạh?????
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 16-12-2010 - 21:37
#5
Đã gửi 16-12-2010 - 22:32
Thoạt đầu anh tưởng kết quả của em và anh khác nhau nhưng khi so sánh lại thì thấy đúng!Cũng có thể cách ngắn gọn hơn sau đây:(hoàn toàn sử dụng kiến thức THCS)
Viết lại biểu thức B dưới dạng sau:
$B = \dfrac{{x^2 - xy + 2y^2 }}{{x^2 + xy + y^2 }}\left( {x^2 + y^2 + xy = 1} \right) = \dfrac{{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^2 - \dfrac{x}{y} + 2}}{{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^2 + \dfrac{x}{y} + 1}} $
$t = \dfrac{x}{y} \Rightarrow B = \dfrac{{t^2 - t + 2}}{{t^2 + t + 1}} \Leftrightarrow \left( {B - 1} \right)t^2 + \left( {B + 1} \right)t + B - 2 = 0 $
$\Delta = \left( {B + 1} \right)^2 - 4\left( {B - 1} \right)\left( {B - 2} \right) = - 3B^2 + 14B - 7 \ge 0 $
$\Leftrightarrow 3B^2 - 14B + 7 \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{{7 - 2\sqrt 7 }}{3} \le B \le \dfrac{{7 + 2\sqrt 7 }}{3} \Rightarrow \min ,\max $
P/s:Anh hxthanh ,giải như vậy ngắn gọn hơn rất nhiều ,phải ko ạh?????
#6
Đã gửi 02-02-2011 - 16:11
Mình giải thế này được không:
$B = x^2 - xy + 2y^2 (1)$: phương trình bậc 2 ẩn x, tham số y.
Xét: $\vartriangle = y^2 - 8y^2 = - 7y^2 \leqslant 0$
Mà phương trình (1) có nghiệm nên $\vartriangle \geqslant 0$. Suy ra, $\vartriangle = 0 \Rightarrow y = 0 $
Suy ra, B=1.
ơ, lúc đầu tưởng cách perfectstrong đúng , nhưng so vs các cách dưới, hoá ra ko phải ak?
e vẫn ko hiểu perfectstrong sai chỗ nào?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi windkiss: 02-02-2011 - 16:17
#7
Đã gửi 02-02-2011 - 18:03
Mình nghĩ là thế này ( lúc đầu cũng thoạt nhầm mà ) :ơ, lúc đầu tưởng cách perfectstrong đúng , nhưng so vs các cách dưới, hoá ra ko phải ak?
e vẫn ko hiểu perfectstrong sai chỗ nào?
Phương trình : $ x^2 - xy + 2y^2 = 0 $ thì mới có điều đó xảy ra ( nghĩa là mới có $ \Delta = - 7y^2 \geq 0 $ - chỉ xét trong khi $ B = 0 $ ), ta không thể xét trường hợp với một số B cụ thể ( = 0) trước trong khi đang cần tìm min , max của nó !
Nếu cần xét thì phải xét biểu thức :
$ \Delta = ( y^2) - 4.( 2y^2 - B ) \geq 0 $
Không biết đúng không nữa !!!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh