Chủ đề này có 3 trả lời

[-Lucifer-]

Cho các số $a,b,c\in [0;1]$.
CRM: $\dfrac{a}{b+c+1}+\dfrac{b}{a+c+1}+\dfrac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$

[khanh3570883]

Cho các số $a,b,c\in [0;1]$.
CRM: $\dfrac{a}{b+c+1}+\dfrac{b}{a+c+1}+\dfrac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$

Không giảm tổng quát, giả sử a b c.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
$\dfrac{(1-b)+(1-c)+(1+b+c)}{3}$ $\sqrt[3]{(1-b)(1-c)(1+b+c)}$
<=> 1 (1-b)(1-c)(1+b+c)
=> $\dfrac{1}{1+b+c}$ (1-b)(1-c)
Vì 1-a 0 nên: $\dfrac{1-a}{1+b+c}$ (1-a)(1-b)(1-c)
Do a b c nên
$\dfrac{b}{b+c+1}$ $\dfrac{b}{a+c+1}$
$\dfrac{c}{b+c+1}$ $\dfrac{c}{a+b+1}$
=> $\dfrac{a}{b+c+1}+\dfrac{b}{b+c+1}+\dfrac{c}{b+c+1}$ $\dfrac{a}{b+c+1}+\dfrac{b}{c+a+1}+\dfrac{c}{a+b+1}$
Từ và (*), suy ra đpcm
________________________________
Không có việc gì khó
Chỉ sợ tiền không nhiều
Đào núi và lấp biển
Có tí ắt làm nên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanh3570883: 05-01-2011 - 11:28

[h.vuong_pdl]

Giả sử $a \ge b \ge c \to b+c+1 \le c+a + 1 \le a+b+1$
Do đó
$VT \le \dfrac{a+b+c}{b+c+1} + (1-a)(1-b)(1-c) \le 1 \\ \Leftrightarrow (1-a)(1-b)(1-c) \le \dfrac{1-a}{b+c+1}$
do $a \in [0;1] \to 1- a \ge 0$ do đo chỉ còn phải CM:
$(b+c+1)(1-b)(1-c) \le 1.$
Thật vậy áp dụng BDT Cô-si cho 3 sô dương ta có:
$(1-b)(1-c)(b+c+1) \le (\dfrac{1-b+1-c+b+c+1}{3})^3 = 1 \to dpcm!$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi h.vuong_pdl: 05-01-2011 - 15:31

[SLNA]

Đây là bài USA 1980