Chủ đề này có 18 trả lời

[hxthanh]

Tặng các bạn THCS một bài dãy số sau
$\{U_n\}$ xác định bởi
$U_1=1,\;\;U_{n+1}=\dfrac{1}{2U_n+1},\;\; \forall n \ge 1$
----------------------------
Tính $U_{2011}$ ?
----------------------------
(Yêu cầu không dùng phương pháp quy nạp để tìm số hạng tổng quát)

[zzz.chelsea.zzz]

Tặng các bạn THCS một bài dãy số sau
$\{U_n\}$ xác định bởi
$U_1=1,\;\;U_{n+1}=\dfrac{1}{2U_n+1},\;\; \forall n \ge 1$
----------------------------
Tính $U_{2011}$ ?
----------------------------
(Yêu cầu không dùng phương pháp quy nạp để tìm số hạng tổng quát)

ko khó lắm
Có $U_1=1,\;\;U_{n+1}=\dfrac{1}{2U_n+1},\;\; \forall n \ge 1$
Ta được $ \ U_2= \dfrac{1}{2+1}= \dfrac{1}{3} $
Kiên trì 1 lúc, ta tính được $ \ U_6= \dfrac{9}{19}, U_7= \dfrac{1}{3} $
Tương tự tìm $ \ U_8, U_9,... $ , ta sẽ thấy 1 quy luật đó là $ \ U_i=U_{i+5} $
Vậy ta tính được $ \ U_{2011}= U_6= \dfrac{9}{19} $
Xong!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zzz.chelsea.zzz: 18-01-2011 - 14:18

[haiyen96]

ko khó lắm
Có $U_1=1,\;\;U_{n+1}=\dfrac{1}{2U_n+1},\;\; \forall n \ge 1$
Ta được $ \ U_2= \dfrac{1}{2+1}= \dfrac{1}{3} $
Kiên trì 1 lúc, ta tính được $ \ U_6= \dfrac{9}{19}, U_7= \dfrac{1}{3} $
Tương tự tìm $ \ U_8, U_9,... $ , ta sẽ thấy 1 quy luật đó là $ \ U_i=U_{i+5} $
Vậy ta tính được $ \ U_{2011}= U_6= \dfrac{9}{19} $
Xong!

Mình hok hỉu phương pháp bạn làm cho lắm
Hình như mình thấy thầy hxthanh bảo là hok sử dụng phương pháp quy nạp cơ mà
P/s: Đấy là mình nói thế, có dzì hok đc thì bạn bỏ wá cho nha

[zzz.chelsea.zzz]

Mình hok hỉu phương pháp bạn làm cho lắm
Hình như mình thấy thầy hxthanh bảo là hok sử dụng phương pháp quy nạp cơ mà
P/s: Đấy là mình nói thế, có dzì hok đc thì bạn bỏ wá cho nha

quy nạp là ntn?
mình chỉ có mỗi cách này thôi
cái này là từ U1 tính sang U2, từ kết quả U2 tính sang U3, U3 tính sang U4,... cứ như vậy tìm ra quy luật thì thôi

[hxthanh]

ko khó lắm
Có $U_1=1,\;\;U_{n+1}=\dfrac{1}{2U_n+1},\;\; \forall n \ge 1$
Ta được $ \ U_2= \dfrac{1}{2+1}= \dfrac{1}{3} $
Kiên trì 1 lúc, ta tính được $ \ U_6= \dfrac{9}{19}, U_7= \dfrac{1}{3} $
Tương tự tìm $ \ U_8, U_9,... $ , ta sẽ thấy 1 quy luật đó là $ \ U_i=U_{i+5} $
Vậy ta tính được $ \ U_{2011}= U_6= \dfrac{9}{19} $
Xong!

Không hiểu em tính thế nào mà ra được $U_6=\dfrac{9}{19};\;\;U_7=\dfrac{1}{3}\;?$
Cái hay của bài này ở chỗ tìm ra số hạng tổng quát một cách rất đặc biệt.
Ta tính thử một vài giá trị của $\{U_n\}$
$U_1=1$
$U_2=\dfrac{1}{2+1}=\dfrac{1}{3}$
$U_3=\dfrac{1}{\dfrac{2}{3}+1}=\dfrac{3}{5}$
$U_4=\dfrac{1}{\dfrac{6}{5}+1}=\dfrac{5}{11}$
...
Dãy này không có chu kỳ như em nghĩ!
Ta nhận thấy MẪU của số hạng trước là TỬ của số hạng sau... do đó ta có thể dự đoán 1 công thức tổng quát cho $\{U_n\}$ rồi chứng minh nó bằng quy nạp toán học. Nhưng ở đây ta không làm vậy.
Đặt $U_n=\dfrac{D_{n-1}}{D_n}$ với $\{D_n\}$ là dãy thích hợp ta cần tìm.
Theo công thức truy hồi ở đề bài ta có:
$\dfrac{D_n}{D_{n+1}}=\dfrac{1}{2\dfrac{D_{n-1}}{D_n}+1}=\dfrac{D_n}{2D_{n-1}+D_n}\;\; \Rightarrow D_{n+1}=D_n+2D_{n-1}\;\;(1)$
Vậy $\{D_n\}$ là dãy số được xác định bởi công thức truy hồi bậc 2 (1)
(1) có phương trình đặc trưng là $x^2-x-2=0$
Phương trình này có 2 nghiệm $x_1=-1,\;\;x_2=2$
Do đó $\{D_n\}$ có công thức tổng quát dạng
$D_n= \alpha (-1)^n+ \beta 2^n $, với $\alpha,\;\beta$ được lựa chọn thích hợp
Ta có:
$1=U_1=\dfrac{D_0}{D_1}=\dfrac{\alpha+\beta}{2\beta-\alpha} \Rightarrow \beta=2\alpha$
Lấy $\alpha=1; \Rightarrow \beta=2$ ta có
$D_n= (-1)^n+ 2^{n+1} $
Suy ra
$U_n=\dfrac{D_{n-1}}{D_n}=\dfrac{2^n+(-1)^{n-1}}{2^{n+1}+(-1)^n}$
--------------------------------------------------------
$U_{2011}=\dfrac{2^{2011}+1}{2^{2012}-1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 18-01-2011 - 15:36

[Lê Xuân Trường Giang]

Không hiểu em tính thế nào mà ra được $U_6=\dfrac{9}{19};\;\;U_7=\dfrac{1}{3}\;?$
Cái hay của bài này ở chỗ tìm ra số hạng tổng quát một cách rất đặc biệt.
Ta tính thử một vài giá trị của $\{U_n\}$
$U_1=1$
$U_2=\dfrac{1}{2+1}=\dfrac{1}{3}$
$U_3=\dfrac{1}{\dfrac{2}{3}+1}=\dfrac{3}{5}$
$U_4=\dfrac{1}{\dfrac{6}{5}+1}=\dfrac{5}{11}$
...
Dãy này không có chu kỳ như em nghĩ!
Ta nhận thấy MẪU của số hạng trước là TỬ của số hạng sau... do đó ta có thể dự đoán 1 công thức tổng quát cho $\{U_n\}$ rồi chứng minh nó bằng quy nạp toán học. Nhưng ở đây ta không làm vậy.
Đặt $U_n=\dfrac{D_{n-1}}{D_n}$ với $\{D_n\}$ là dãy thích hợp ta cần tìm.
Theo công thức truy hồi ở đề bài ta có:
$\dfrac{D_n}{D_{n+1}}=\dfrac{1}{2\dfrac{D_{n-1}}{D_n}+1}=\dfrac{D_n}{2D_{n-1}+D_n}\;\; \Rightarrow D_{n+1}=D_n+2D_{n-1}\;\;(1)$
Vậy $\{D_n\}$ là dãy số được xác định bởi công thức truy hồi bậc 2 (1)
(1) có phương trình đặc trưng là $x^2-x-2=0$
Phương trình này có 2 nghiệm $x_1=-1,\;\;x_2=2$
Do đó $\{D_n\}$ có công thức tổng quát dạng
$D_n= \alpha (-1)^n+ \beta 2^n $, với $\alpha,\;\beta$ được lựa chọn thích hợp
Ta có:
$1=U_1=\dfrac{D_0}{D_1}=\dfrac{\alpha+\beta}{2\beta-\alpha} \Rightarrow \beta=2\alpha$
Lấy $\alpha=1; \Rightarrow \beta=2$ ta có
$D_n= (-1)^n+ 2^{n+1} $
Suy ra
$U_n=\dfrac{D_{n-1}}{D_n}=\dfrac{2^n+(-1)^{n-1}}{2^{n+1}+(-1)^n}$
--------------------------------------------------------
$U_{2011}=\dfrac{2^{2011}+1}{2^{2012}-1}$

Noi ve day truy hoi tuyen tinh bac 2 thi em cung lam dc chut it............hi anh hxthanh lam mat rui.........huuuuuuuuuuuu!

[hxthanh]

Noi ve day truy hoi tuyen tinh bac 2 thi em cung lam dc chut it............hi anh hxthanh lam mat rui.........huuuuuuuuuuuu!

Thôi đừng buồn nữa . Có bài hay cho em thử sức đây:

Dãy $\{U_n\}$ thỏa mãn
$U_1=0,\;\;U_2=1,\;\;\;U_{n+2}=2(U_{n+1}-U_n)+1,\;\;\forall n \ge 1$
Tìm số hạng tổng quát của dãy

[hxthanh]

Ta đặt $ A_n = U_n-11 $ thì suy ra $ A_{n+2}=2(A_{n+1}-A_n) $
sử dụng pt đặc trưng là suy ra cttq

Phương trình đặc trưng $x^2-2x+2=0$
Cường giải mẫu xem nào

ĐS bài này
$U_n=1-(C_n^0-C_n^2+C_n^4-...)=1-2^{\dfrac{n}{2}}cos(\dfrac{n\pi}{4})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 18-01-2011 - 21:45

[zzz.chelsea.zzz]

Không hiểu em tính thế nào mà ra được $U_6=\dfrac{9}{19};\;\;U_7=\dfrac{1}{3}\;?$
Cái hay của bài này ở chỗ tìm ra số hạng tổng quát một cách rất đặc biệt.
Ta tính thử một vài giá trị của $\{U_n\}$
$U_1=1$
$U_2=\dfrac{1}{2+1}=\dfrac{1}{3}$
$U_3=\dfrac{1}{\dfrac{2}{3}+1}=\dfrac{3}{5}$
$U_4=\dfrac{1}{\dfrac{6}{5}+1}=\dfrac{5}{11}$
...
Dãy này không có chu kỳ như em nghĩ!
Ta nhận thấy MẪU của số hạng trước là TỬ của số hạng sau... do đó ta có thể dự đoán 1 công thức tổng quát cho $\{U_n\}$ rồi chứng minh nó bằng quy nạp toán học. Nhưng ở đây ta không làm vậy.
Đặt $U_n=\dfrac{D_{n-1}}{D_n}$ với $\{D_n\}$ là dãy thích hợp ta cần tìm.
Theo công thức truy hồi ở đề bài ta có:
$\dfrac{D_n}{D_{n+1}}=\dfrac{1}{2\dfrac{D_{n-1}}{D_n}+1}=\dfrac{D_n}{2D_{n-1}+D_n}\;\; \Rightarrow D_{n+1}=D_n+2D_{n-1}\;\;(1)$
Vậy $\{D_n\}$ là dãy số được xác định bởi công thức truy hồi bậc 2 (1)
(1) có phương trình đặc trưng là $x^2-x-2=0$
Phương trình này có 2 nghiệm $x_1=-1,\;\;x_2=2$
Do đó $\{D_n\}$ có công thức tổng quát dạng
$D_n= \alpha (-1)^n+ \beta 2^n $, với $\alpha,\;\beta$ được lựa chọn thích hợp
Ta có:
$1=U_1=\dfrac{D_0}{D_1}=\dfrac{\alpha+\beta}{2\beta-\alpha} \Rightarrow \beta=2\alpha$
Lấy $\alpha=1; \Rightarrow \beta=2$ ta có
$D_n= (-1)^n+ 2^{n+1} $
Suy ra
$U_n=\dfrac{D_{n-1}}{D_n}=\dfrac{2^n+(-1)^{n-1}}{2^{n+1}+(-1)^n}$
--------------------------------------------------------
$U_{2011}=\dfrac{2^{2011}+1}{2^{2012}-1}$

her, em tính nhẩm nên nhầm, cho nên mới ra đc như vậy

[hxthanh]

Thôi đừng buồn nữa . Có bài hay cho em thử sức đây:

Dãy $\{U_n\}$ thỏa mãn
$U_1=0,\;\;U_2=1,\;\;\;U_{n+2}=2(U_{n+1}-U_n)+1,\;\;\forall n \ge 1$
Tìm số hạng tổng quát của dãy

Bài này nhìn đẹp, nhưng đáp số nhìn hơi bị "choáng" đấy!
$U_n=1-\sum_{k=0}^{\lfloor \dfrac{n}{2}\rfloor} (-1)^kC_n^{2k}$
Hoặc
$U_n=1-\sqrt{2^n}cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)$
Hoặc khủng hơn nữa!
$U_n=1+\left(7\left\lfloor \dfrac{n}{8}\right\rfloor-8\left\lfloor \dfrac{n+1}{8}\right\rfloor-4\left\lfloor \dfrac{n+2}{8}\right\rfloor+2\left\lfloor \dfrac{n+4}{8}\right\rfloor+2\left\lfloor \dfrac{n+5}{8}\right\rfloor-\left\lfloor \dfrac{9-n}{8}\right\rfloor\right)2^{4\lfloor \dfrac{n}{8}\rfloor}$

[dark templar]

Bài này nhìn đẹp, nhưng đáp số nhìn hơi bị "choáng" đấy!
$U_n=1-\sum_{k=0}^{\lfloor \dfrac{n}{2}\rfloor} (-1)^kC_n^{2k}$
Hoặc
$U_n=1-\sqrt{2^n}cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)$
Hoặc khủng hơn nữa!
$U_n=1+\left(7\left\lfloor \dfrac{n}{8}\right\rfloor-8\left\lfloor \dfrac{n+1}{8}\right\rfloor-4\left\lfloor \dfrac{n+2}{8}\right\rfloor+2\left\lfloor \dfrac{n+4}{8}\right\rfloor+2\left\lfloor \dfrac{n+5}{8}\right\rfloor-\left\lfloor \dfrac{9-n}{8}\right\rfloor\right)2^{4\lfloor \dfrac{n}{8}\rfloor}$

Ạc mấy bài dãy số này khi sử dụng ngay pt đặc trưng là đc thôi !Nhưng pt đặc trưng là kiến thức đại học lận anh hxthanh!Em nghĩ nó ko hợp với các em THCS lắm !

[Lê Xuân Trường Giang]

Phương trình đặc trưng $x^2-2x+2=0$
Cường giải mẫu xem nào

ĐS bài này
$U_n=1-(C_n^0-C_n^2+C_n^4-...)=1-2^{\dfrac{n}{2}}cos(\dfrac{n\pi}{4})$

Giai pt :$x^2 - 2x + 2 = 0$ day la pt co nghiem so phuc $i$

[Lê Xuân Trường Giang]

Bài này nhìn đẹp, nhưng đáp số nhìn hơi bị "choáng" đấy!
$U_n=1-\sum_{k=0}^{\lfloor \dfrac{n}{2}\rfloor} (-1)^kC_n^{2k}$
Hoặc
$U_n=1-\sqrt{2^n}cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)$
Hoặc khủng hơn nữa!
$U_n=1+\left(7\left\lfloor \dfrac{n}{8}\right\rfloor-8\left\lfloor \dfrac{n+1}{8}\right\rfloor-4\left\lfloor \dfrac{n+2}{8}\right\rfloor+2\left\lfloor \dfrac{n+4}{8}\right\rfloor+2\left\lfloor \dfrac{n+5}{8}\right\rfloor-\left\lfloor \dfrac{9-n}{8}\right\rfloor\right)2^{4\lfloor \dfrac{n}{8}\rfloor}$

Th0i em xin anh hxthanh post cach lam ch0 moi nguoi cung lam>>

Cho em hoi cai nay co lien wan den PT Sai Phan Tiep Tuyen Khong Thuan Nhat khong a!

[hxthanh]

Bài này nhìn đẹp, nhưng đáp số nhìn hơi bị "choáng" đấy!
$U_n=1-\sum_{k=0}^{\lfloor \dfrac{n}{2}\rfloor} (-1)^kC_n^{2k}$
Hoặc
$U_n=1-\sqrt{2^n}cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)$
Hoặc khủng hơn nữa!
$U_n=1+\left(7\left\lfloor \dfrac{n}{8}\right\rfloor-8\left\lfloor \dfrac{n+1}{8}\right\rfloor-4\left\lfloor \dfrac{n+2}{8}\right\rfloor+2\left\lfloor \dfrac{n+4}{8}\right\rfloor+2\left\lfloor \dfrac{n+5}{8}\right\rfloor-\left\lfloor \dfrac{9-n}{8}\right\rfloor\right)2^{4\lfloor \dfrac{n}{8}\rfloor}$

Th0i em xin anh hxthanh post cach lam ch0 moi nguoi cung lam>>

Cho em hoi cai nay co lien wan den PT Sai Phan Tiep Tuyen Khong Thuan Nhat khong a!

Đùa vui vậy thôi, chứ bài này vượt tầm THCS rồi. Mà em cũng hiểu biết nhiều thứ nhỉ? Cái "PT Sai Phan Tiep Tuyen Khong Thuan Nhat" anh cũng chưa ...được học
Về đáp án của bài trên thì ĐA1 và ĐA2 đều sử dụng đến nghiệm phức của pt đặc trưng. Trong khi ĐA1 sử dụng Công thức khai triển nhị thức Newton, thì ĐA2 lại sử dụng dạng lượng giác cùng công thức Moivre (Mấy cái này hình như ct THPT cũng đưa vào )
ĐA3 nhìn có vẻ "sơ cấp" và "Số học" nhất! nhưng không dễ mà tìm ra nó được. Thực chất do anh "chế biến" từ 2 dạng trên ra mà thôi

Tuy vậy, anh cũng đã tìm ra được 1 "phương pháp" tương đối gần gũi và dễ hiểu để tìm được công thức như dạng ĐA3. Chỉ sử dụng kiến thức về phần nguyên với kỹ thuật "Gộp các công thức bằng phần nguyên"
Anh sẽ post lên sau nhé!

[hxthanh]

Mấy hôm nay thời tiết khắc nghiệt quá.
Lời giải cho bài dãy số "khủng" trên nằm trong Ví dụ cuối của
phương pháp gọi là "gộp công thức bằng phần nguyên"
Anh đang định viết hoàn chỉnh một chuyên đề về phần nguyên nhưng rét quá thành ra ngại nên giờ vẫn còn chưa xong . Sợ các em sốt ruột nên anh post lên đây trước một đoạn có liên quan đến bài này
 PhanNg.pdf   147.25K   105 Số lần tải
Không hiểu sao VMF tải file về toàn báo lỗi
Nếu không tải được các bạn có có thể tải ở đây

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 21-01-2011 - 23:07

[mybest]

Mấy hôm nay thời tiết khắc nghiệt quá.
Lời giải cho bài dãy số "khủng" trên nằm trong Ví dụ cuối của
phương pháp gọi là "gộp công thức bằng phần nguyên"
Anh đang định viết hoàn chỉnh một chuyên đề về phần nguyên nhưng rét quá thành ra ngại nên giờ vẫn còn chưa xong . Sợ các em sốt ruột nên anh post lên đây trước một đoạn có liên quan đến bài này
 PhanNg.pdf   147.25K   105 Số lần tải
Không hiểu sao VMF tải file về toàn báo lỗi
Nếu không tải được các bạn có có thể tải ở đây

thầy ơi cho em hỏi cái phần nguyên trong pdf này là lớp mấy mới học được

[hxthanh]

@ mybest Tôi đang viết về chuyên đề phần nguyên này, hiện còn đang tổng hợp một số dạng toán hay. Phần trong file PhanNg.pdf được viết trên tinh thần để minh họa cho bài dãy số ở trên, có thể hơi vắn tắt và khó hiểu với em
Tất cả chỉ mang tính THAM KHẢO thôi, Lớp 8 là có thể tìm hiểu được rồi
Nếu em có hứng thú thì em có để đọc một topic sẵn có trên VMF này là -->$\lfloor$Phần Nguyên$\rfloor$

[hxthanh]

Bài này cũng hay
Tìm số hạng tổng quát $U_n$ của dãy: "Thứ tự tăng dần của các số tự nhiên lẻ không chia hết cho 3"
$\{U_n\}_1^{\infty}=\{1,5,7,11,13,17,19,23,25,...\}$
----------
Chém thôi các em

[hxthanh]

Bài này cũng hay
Tìm số hạng tổng quát $U_n$ của dãy: "Thứ tự tăng dần của các số tự nhiên lẻ không chia hết cho 3"
$\{U_n\}_1^{\infty}=\{1,5,7,11,13,17,19,23,25,...\}$
----------
Chém thôi các em

Bài này dễ quá phải không ? Đáp án là $\boxed{U_n=2n+2\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor-1}$
-------------------
- Tất cả các số tự nhiên không chia hết cho 3 thì có dạng $3p-1$ và $3p+1$. Đây là 2 số chẵn liên tiếp hoặc 2 số lẻ liên tiếp tùy thuộc $p$ lẻ hay chẵn. $p$ lẻ thì đó là hai số chẵn. $p$ chẵn $p=2k$ thì đó là hai số $6k-1$ và $6k+1$, là 2 số lẻ. Tóm lại tất cả các số hạng của $\{U_n\}$ đều thuộc 1 trong 2 dạng trên. Sắp thứ tự tăng dần ta sẽ có:
$\begin{align*}U_{2k} &=6k-1\\ U_{2k+1}&=6k+1\end{align*}$
Như vậy. Đặt $n=2k+r,\;\;\;\;r=\{0,1\} \Rightarrow k=\lfloor \dfrac{n}{2}\rfloor;\;\;\;\;r=n-2\lfloor \dfrac{n}{2}\rfloor$
Suy ra:
$\begin{align*}U_n &=6\lfloor \dfrac{n}{2}\rfloor+\{-1,1\}\\ &=6\lfloor \dfrac{n}{2}\rfloor+2\{0,1\}-1\\ &=6\lfloor \dfrac{n}{2}\rfloor+2r-1\\ &=6\lfloor \dfrac{n}{2}\rfloor+2\left( n-2\lfloor \dfrac{n}{2}\rfloor\right)-1\\ &=2n+2\lfloor \dfrac{n}{2}\rfloor-1 \end{align*}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 24-01-2011 - 14:41