bài 1. Cho
$a_{1} + a_{2} +...+ a_{k} \vdots 30$
chứng minh $ a_{1}^5 + a_{2}^5+...+ a_{k}^5 \vdots 30 ( a_{i} \in Z; $i=lớp 1 ->n )
bài 2. tìm số dư của
A=$ 10^{10}+10^{10^2}+...+10^{10^{10}}cho 7 $
Chém bài 1 trước rồi đi ngủ
ta có $S=a_{1} + a_{2} +...+ a_{k} \vdots 30$ suy ra S chia hết cho 2,3,5
ta có $a^4 \equiv 1 (mod 5) => a^5 \equiv a (mod 5)$.
từ đây ta suy ra $S_5=a_{1}^5 + a_{2}^5+...+ a_{k}^5 \equiv a_{1} + a_{2} +...+ a_{k} (mod 5) \equiv 0 (mod 5)$
mũ 5 là mũ lẽ , số a chia cho 3 dư -1, 0, hoặc 1 nên $S_5$ rõ ràng chia hết cho 5 (do số dư từng số hạng cho 3 ko đổi)
cũng vậy tính chẵn lẻ ko đổi nên $S_5$ cũng chia hết cho 2 vì S chia hết cho 2.
như thế $S_5=a_{1}^5 + a_{2}^5+...+ a_{k}^5 \vdots 30$
Done!!! Happy new day
