Chủ đề này có 4 trả lời

[MR.LẠI TRUNG MINH ĐỨC]

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn không có hai số nào đồng thời bằng 0. CMR:
\[
\dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}} \ge \dfrac{{3(a^2 + b^2 + c^2 )}}{{(a + b + c)^2 }} + \dfrac{1}{2}
\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MR.LẠI TRUNG MINH ĐỨC: 29-01-2011 - 21:17

[wallunint]

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn không có hai số nào đồng thời bằng 0. CMR:

$\dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}} \ge \dfrac{{3(a^2 + b^2 + c^2 )}}{{(a + b + c)^2 }} + \dfrac{1}{2}$

[dark templar]

Làm theo cái đề của walluinint
Vì BĐT trên là thuần nhất nên chuẩn hóa $a+b+c=1$
Đặt $p = a + b + c = 1;q = ab + bc + ca;r = abc $
$\Rightarrow q \in \left[ {0;\dfrac{1}{3}} \right];r \in \left[ {0;\dfrac{1}{{27}}} \right]$
BĐT trở thành :
$\dfrac{{a^3 + b^3 + c^3 + \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)}}{{\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) - abc}} \ge 3\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right) + \dfrac{1}{2} $
$\Leftrightarrow \dfrac{{1 - 2q + 3r}}{{q - r}} \ge 3\left( {1 - 2q} \right) + \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 12q^2 - 11q + 2 + r\left( {13 - 12q} \right) \ge 0 $
$r \ge \max \left\{ {0;\dfrac{{4q - 1}}{9}} \right\}\left( {Schur} \right) $
$\bullet q \in \left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right] \Rightarrow r \ge 0 \Rightarrow VT \ge 12q^2 - 11q + 2 \ge 0$
$\Leftrightarrow \left( {3q - 2} \right)\left( {4q - 1} \right) \ge 0\left( {True,\forall q \in \left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]} \right) $
$\bullet q \in \left( {\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{3}} \right] \Rightarrow r \ge \dfrac{{4q - 1}}{9} $
$\Rightarrow VT \ge 12q^2 - 11q + 2 + \dfrac{{\left( {4q - 1} \right)\left( {13 - 12q} \right)}}{9} \ge 0 $
$\Leftrightarrow 108q^2 - 99q + 18 + 52q - 48q^2 - 13 + 12q \ge 0 \Leftrightarrow 60q^2 - 35q + 5 \ge 0 $
$\Leftrightarrow \left( {3q - 1} \right)\left( {4q - 1} \right) \ge 0\left( {True,\forall q \in \left( {\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{3}} \right]} \right) $
$\Rightarrow Q.E.D $
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hay $a=0;b=c$ hoặc các hoán vị tương ứng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 02-02-2011 - 10:32

[wallunint]

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn không có hai số nào đồng thời bằng 0. CMR:
$\dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}} \ge \dfrac{{3(a^2 + b^2 + c^2 )}}{{(a + b + c)^2 }} + \dfrac{1}{2}$

Thực chất thì bài này anh Darktemplar giải như thế thì hơi "kinh" khủng đối với các bạn THCS.
Nhưng cách THCS cho bài này thì lại quá dài. Không tiện post lên.
Đây là một bài khác cũng có cách làm tương tự, xin tặng cho bạn Dark ghost (MR.LẠI TRUNG MINH ĐỨC) làm thử

Cho các số thực dương. CMR:
$\dfrac{1}{2} + \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{ab + ac + bc}} \geqslant \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{a + c}} + \dfrac{c}{{a + b}}$



ps: Chúc bạn Vinh (Dark ghost) thi học sinh giỏi thành phố đạt kết quả tốt nhá !!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 11-02-2011 - 13:51

[MR.LẠI TRUNG MINH ĐỨC]

CẢM ƠN BẠN WALLUNINT RẤT NHIỀU

DARKGHOST XIN CHÚC BẠN ĐIỀU TƯƠNG TỰ