Nếu $a,b,n \in \mathbb{N}^+, \quad n \ge 2$
CMR $(k = \dfrac{a^n+b^n}{(ab)^{n-1}+1} \in \mathbb{N}) \Rightarrow \exists c \in \mathbb{N} \; (k = c^n)$
#1
Posted 30-01-2011 - 08:22
NightBaron
-
- Thành viên
-
- 298 posts
Quân Sư
#2
Posted 07-04-2011 - 11:41
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 posts
PQT
Anh nêu lời giải cho bài toán này được không?
Nhân tiện, anh nêu luôn đề của IMO 1988 của bai toán tổng quát này với! Cảm ơn anh nhiều
Nhân tiện, anh nêu luôn đề của IMO 1988 của bai toán tổng quát này với! Cảm ơn anh nhiều
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Posted 15-04-2011 - 10:12
anhtuanDQH
-
- Thành viên
-
- 236 posts
Thượng sĩ
Nhân tiện, anh nêu luôn đề của IMO 1988 của bai toán tổng quát này với! Cảm ơn anh nhiều
Đề như này bạn :
Cho $\ a,b $ là 2 số nguyên dương sao cho $\ (a^2+b^2) \vdots (ab+1) $
Hãy chỉ ra rằng : $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1} $ là 1 số chính phương .
Xăng có thể cạn, lốp có thể mòn..xong số máy số khung thì không bao giờ thay đổi
NGUYỄN ANH TUẤN - CHỦ TỊCH HIỆP HỘI
#4
Posted 10-06-2011 - 09:34
NightBaron
-
- Thành viên
-
- 298 posts
Quân Sư
Nếu $a,b,n \in \mathbb{N}^+, \quad n \ge 2$
CMR $(k = \dfrac{a^n+b^n}{(ab)^{n-1}+1} \in \mathbb{N}) \Rightarrow \exists c \in \mathbb{N} \; (k = c^n)$
[/quote]
Có thể làm như sau:
Khi $ a = b, \; k=\dfrac{a^n+b^n}{(ab)^{n-1}+1}} \in \mathbb{N}^+ \Rightarrow a=b=k=1^n$
Giả sử rằng pt có nghiệm, do tính chất đối xứng của $a,b$ ta giả sử rằng $a<b$.
Ta có:
$k = \dfrac{a^n+b^n}{(ab)^{n-1}+1}$
$\Leftrightarrow a^n-k=(ka^{n-1}-b)b^{n-1}$
1.1 Nếu $k > a^n\Rightarrow k > k-a^n = b^{n-1} (b-ka^{n-1}) \ge b^{n-1}$
Do đó có:
$b > ka^{n-1} \ge k > b^{n-1}$
Mâu thuẫn!
1.2 Nếu $k < a^n\Rightarrow ka^{n-1}-b = \dfrac{a^n-k}{b^{n-1}}}<\dfrac{a^n}{a^{n-1}}=a $
$\Rightarrow ka^{n-1} < a+b$
$\Leftrightarrow (k-1)a^{n-1} < a+b - a^{n-1} \le b$
Do đó:
$ \forall k > 1 \Rightarrow a^{n-1} \le (k-1)a^{n-1} < b $
$ \Rightarrow a^n-k = (ka^{n-1}-b)b^{n-1} \ge b^{n-1} > \ge a^n$
Mâu thuẫn!
Vậy suy ra: $k=1^n$.
1.3 Nếu: $k = a^n$ dễ thấy dpcm!
CMR $(k = \dfrac{a^n+b^n}{(ab)^{n-1}+1} \in \mathbb{N}) \Rightarrow \exists c \in \mathbb{N} \; (k = c^n)$
[/quote]
Có thể làm như sau:
Khi $ a = b, \; k=\dfrac{a^n+b^n}{(ab)^{n-1}+1}} \in \mathbb{N}^+ \Rightarrow a=b=k=1^n$
Giả sử rằng pt có nghiệm, do tính chất đối xứng của $a,b$ ta giả sử rằng $a<b$.
Ta có:
$k = \dfrac{a^n+b^n}{(ab)^{n-1}+1}$
$\Leftrightarrow a^n-k=(ka^{n-1}-b)b^{n-1}$
1.1 Nếu $k > a^n\Rightarrow k > k-a^n = b^{n-1} (b-ka^{n-1}) \ge b^{n-1}$
Do đó có:
$b > ka^{n-1} \ge k > b^{n-1}$
Mâu thuẫn!
1.2 Nếu $k < a^n\Rightarrow ka^{n-1}-b = \dfrac{a^n-k}{b^{n-1}}}<\dfrac{a^n}{a^{n-1}}=a $
$\Rightarrow ka^{n-1} < a+b$
$\Leftrightarrow (k-1)a^{n-1} < a+b - a^{n-1} \le b$
Do đó:
$ \forall k > 1 \Rightarrow a^{n-1} \le (k-1)a^{n-1} < b $
$ \Rightarrow a^n-k = (ka^{n-1}-b)b^{n-1} \ge b^{n-1} > \ge a^n$
Mâu thuẫn!
Vậy suy ra: $k=1^n$.
1.3 Nếu: $k = a^n$ dễ thấy dpcm!
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
