Chủ đề này có 4 trả lời

[NightBaron]

Cho $X,Y,Z , A,B,C$ là các số thực không âm thỏa mãn:

$A+X=B+Y=C+Z=k$

cmr:

$AY+BZ+CX\le k^2$

Mở rộng bài toán!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NightBaron: 31-01-2011 - 09:11

[dark templar]

Cho $X,Y,Z , A,B,C$ là các số thực không âm thỏa mãn:

$A+X=B+Y=C+Z=k$

cmr:

$AY+BZ+CX\le k^2$

Mở rộng bài toán!

Bài này đưa về A,B,C hay X,Y,Z đều được !
Biến đổi BĐT về dạng sau:
$VT = A\left( {k - B} \right) + B\left( {k - C} \right) + C\left( {k - A} \right) = k\left( {A + B + C} \right) - \sum {AB}$
Để ý rằng $0 \le A,B,C \le k$ nên ta có ngay BĐT sau :
$\sum {\left( {k - A} \right)} \left( {k - B} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 3k^2 - 2k\left( {A + B + C} \right) + \sum {AB} \ge 0 $
$\Leftrightarrow VT = k\left( {A + B + C} \right) - \sum {AB} \le 3k^2 - k\left( {A + B + C} \right) $
$\bullet 3k \ge A + B + C \ge 2k \Rightarrow 3k^2 - k\left( {A + B + C} \right) \le 3k^2 - 2k^2 = k^2 $
$\bullet k \ge A + B + C \ge 0 $
$VT = k\left( {A + B + C} \right) - \sum {AB} \le k^2 $
$\bullet 3k \ge A + B + C \ge k $
.............
P/s:Chưa giải quyết xong nhưng cứ post tạm lên,thông cảm nha!

[NightBaron]

Bài này đưa về A,B,C hay X,Y,Z đều được !
Biến đổi BĐT về dạng sau:
$VT = A\left( {k - B} \right) + B\left( {k - C} \right) + C\left( {k - A} \right) = k\left( {A + B + C} \right) - \sum {AB}$
Để ý rằng $0 \le A,B,C \le k$ nên ta có ngay BĐT sau :
$\sum {\left( {k - A} \right)} \left( {k - B} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 3k^2 - 2k\left( {A + B + C} \right) + \sum {AB} \ge 0 $
$\Leftrightarrow VT = k\left( {A + B + C} \right) - \sum {AB} \le 3k^2 - k\left( {A + B + C} \right) $
$\bullet 3k \ge A + B + C \ge 2k \Rightarrow 3k^2 - k\left( {A + B + C} \right) \le 3k^2 - 2k^2 = k^2 $
$\bullet k \ge A + B + C \ge 0 $
$VT = k\left( {A + B + C} \right) - \sum {AB} \le k^2 $
$\bullet 3k \ge A + B + C \ge k $
.............
P/s:Chưa giải quyết xong nhưng cứ post tạm lên,thông cảm nha!

uk. Cứ làm hết đi!

[tuan101293]

Cho $X,Y,Z , A,B,C$ là các số thực không âm thỏa mãn:

$A+X=B+Y=C+Z=k$

cmr:

$AY+BZ+CX\le k^2$

Mở rộng bài toán!

cho k=1,ta phải CM
với $a,b,c\in [0,1]$ thì
$a+b+c-ab-bc-ca\le 1$
mà $(1-a)(1-b)(1-c)\ge 0$ nên $1-a-b-c+ab+bc+ca\ge abc\ge 0$
ĐPCM

[NightBaron]

quên ko cảm ơn anh Tuấn! Đại loại cũng có vài kiểu xử lý... nhưng cũng quanh quẩn dựa theo cách của anh Tuấn!