Chủ đề này có 6 trả lời

[Bác Ba Phi]

Cho $x,y$ là 2 số thực không âm thỏa mãn $x^2+y^2=2$
Tìm $max, min A=x^3+y^3$

[khanh3570883]

Cho $x,y$ là 2 số thực không âm thỏa mãn $x^2+y^2=2$
Tìm $max, min A=x^3+y^3$

Ta có:
$x^3+x^3+1\geq\sqrt[3]{x^6}=3x^2$
Làm tương tự rồi cộng lại => min A = 2

[Bác Ba Phi]

Cho $x,y$ là 2 số thực không âm thỏa mãn $x^2+y^2=2$
Tìm $max, min A=x^3+y^3$

Còn cách nào ko dùng BĐT AM-Gm nữa ko mọi ng` ?

[wallunint]

Còn cách nào ko dùng BĐT AM-Gm nữa ko mọi người ?

Không AM-GM thì mình Cauchy-schwars thôi.
theo BDT Cauchy-schwars, ta có:

$\begin{gathered}\left( {x + y} \right)\left( {{x^3} + {y^3}} \right) \geqslant {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} = 4 \hfill \\\Rightarrow {x^3} + {y^3} \geqslant \dfrac{4}{{x + y}} \geqslant \dfrac{4}{{\sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} }} = 2 \hfill \\ \end{gathered} $

vì $\left( {1 + 1} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \geqslant {\left( {a + b} \right)^2}$

vậy ${A_{\min }} = 2 \Leftrightarrow x = y = 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 15-02-2011 - 00:27

[RainThunde]

Đặt $S=x+y; P=xy$. Ta có
${x}^{2}+{y}^{2}=2$ => ${S}^{2}-2P=2$ <=> $P=\dfrac{{S}^{2}-2}{2}$

Ta luôn có ${S}^{2}\geq 4P$ <=> $2 \geq S \geq -2$
mà $x, y \geq 0$ => $0 \leq S \leq 2$

$A={x}^{3}+{y}^{3}={(x+y)}^{3}-3xy(x+y)=\dfrac{-{S}^{3}}{2}+3S$

Khảo sát hàm số với S nằm trong đoạn $[0;2]$

Còn cách lượng giác hóa nữa, ai gõ nốt dùm cái... )

[khanh3570883]

Cho $x,y$ là 2 số thực không âm thỏa mãn $x^2+y^2=2$
Tìm $max, min A=x^3+y^3$

bài này có một cách đặc biệt để tìm max như thế này:
Vì $x^2+y^2=2$ nên $x\leq\sqrt{2}$, $y\leq\sqrt{2}$
Xét $x^2(x-\sqrt{2})+y^2(y-\sqrt{2})\leq 0$
=> $max A = 2\sqrt{2}$

[Bác Ba Phi]

Đặt $S=x+y; P=xy$. Ta có
${x}^{2}+{y}^{2}=2$ => ${S}^{2}-2P=2$ <=> $P=\dfrac{{S}^{2}-2}{2}$

Ta luôn có ${S}^{2}\geq 4P$ <=> $2 \geq S \geq -2$
mà $x, y \geq 0$ => $0 \leq S \leq 2$

$A={x}^{3}+{y}^{3}={(x+y)}^{3}-3xy(x+y)=\dfrac{-{S}^{3}}{2}+3S$

Khảo sát hàm số với S nằm trong đoạn $[0;2]$

Còn cách lượng giác hóa nữa, ai gõ nốt dùm cái... )

Mình khá thích cách giải này Quy về cái đã học trong chương trình 12