Tìm đa thức $f(x)$ với hệ số thực có bậc bé nhất sao cho khi chia $f(x)$ cho $(x-1)^2$ còn dư $2x$ và khi chia $f(x)$ cho $(x-2)^3$ còn dư $3x.$
Tìm đa thức $f(x)$ với hệ số thực có bậc bé nhất sao cho khi chia $f(x)$ cho $(x-1)^2$ còn dư $2x$ và khi chia $f(x)$ cho $(x-2)^3$ còn dư $3x.$
Bắt đầu bởi tranquocluat_ht, 19-02-2011 - 18:05
#2
Đã gửi 23-02-2011 - 22:08
tuan101293
-
- Thành viên
-
- 999 Bài viết
Trung úy
Dễ thấy nếu f(x) có $deg f\le 3$ thì vô lý
Nếu $deg f\ge 4$ ta có
$f(x)=(x-1)^2g(x)+2x$ và $f(x)=h(x)(x-2)^3+3x$
suy ra f(1)=2;f(2)=6
mà f(1)=-h(1)+3; f(2)=g(2)+4 nên h(1)=1;g(2)=2
nên g(x)=(x-2)t(x)+2 và h(x)=(x-1)q(x)+1
suy ra $(x-2)^2q(x)+x-5=(x-1)t(x)$
suy ra q(1)=4
Vì deg f min nên $q(x)\equiv 4$
có ngay $f(x)=4x^4-27x^3+66x^2-65x+24$ là đa thức deg min duy nhất thỏa mãn
Nếu $deg f\ge 4$ ta có
$f(x)=(x-1)^2g(x)+2x$ và $f(x)=h(x)(x-2)^3+3x$
suy ra f(1)=2;f(2)=6
mà f(1)=-h(1)+3; f(2)=g(2)+4 nên h(1)=1;g(2)=2
nên g(x)=(x-2)t(x)+2 và h(x)=(x-1)q(x)+1
suy ra $(x-2)^2q(x)+x-5=(x-1)t(x)$
suy ra q(1)=4
Vì deg f min nên $q(x)\equiv 4$
có ngay $f(x)=4x^4-27x^3+66x^2-65x+24$ là đa thức deg min duy nhất thỏa mãn
KT-PT
Do unto others as you would have them do unto you.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
