11 replies to this topic

[Nguyễn Hoàng Nam]

Bài 1:
Cho x,y,z thay đổi thỏa mãn: $xy+yz+xz=4$
Tìm MinF=$x^4+y^4+z^4$
Bài 2: CHo x,y thay đổi thỏa mã 0 x 3, 0 y 4
Tìm $MaxP=(3-x)(4-y)(2x+3y)$
Bài 3: Cho x,y>0 thỏa mãn $xy=1$
Tìm $MaxA=\dfrac{x}{x^4+y^2}+\dfrac{y}{y^4+x^2}$
Bài 4: Cho a,b,c>0 thỏa mã a+b+c=1
Tìm $MinP=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}$
Bài 5: Cho x,y,z,t>0 thỏa mãn: $x+y+z+t=2$
Tìm $MinA=\dfrac{x^4+y^4+z^4+t^4}{x^3+t^3+z^3+t^3}$

Edited by Nguyễn Hoàng Nam, 25-02-2011 - 17:25.

[wallunint]

Bài 1:
Cho x,y,z thay đổi thỏa mãn: $xy+yz+xz=4$
Tìm MinF=$x^4+y^4+z^4$
Bài 2: CHo x,y thay đổi thỏa mã 0 x 3, 0 y 4
Tìm $MaxP=(3-x)(4-y)(2x+3y)$

Bài 1: Ta có: ${x^4} + {y^4} + {z^4} \geqslant \dfrac{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}}}{3} \geqslant \dfrac{{{{\left( {xy + yz + xz} \right)}^2}}}{3} = \dfrac{{16}}{3}$

Bài 2 Ta có:
$\begin{gathered}6P = \left( {6 - 2x} \right)\left( {12 - 3y} \right)\left( {2x + 3y} \right) \leqslant \dfrac{{{{\left( {6 - 2x + 12 - 3y + 2x + 3y} \right)}^3}}}{{27}} \hfill \\\Rightarrow 6P \leqslant 216 \Rightarrow P \leqslant 36 \hfill \\ \end{gathered}$

Bài 5: Cho x,y,z,t>0 thỏa mãn: $x+y+z+t=2$
Tìm $MinA=\dfrac{x^4+y^4+z^4+t^4}{x^3+t^3+z^3}$

Bài 5 ko biết có thiếu đề ko nhỉ ??

Edited by wallunint, 21-02-2011 - 16:14.

[Nguyễn Hoàng Nam]

Bài 5 ko biết có thiếu đề ko nhỉ ??

Cảm ơn bạn đã nhắc nhở, bài 5 quả là mình chép thiếu, đã sửa chữa

[wallunint]

Bài 5: Cho x,y,z,t>0 thỏa mãn: $a+b+c+d=2$
Tìm $MinA=\dfrac{a^4+b^4+c^4+d^4}{a^3+b^3+c^3+d^3}$

Đây là cách giải đơn giản nhất cho bài này :

Áp dụng bđt Cauchy-Schwars, ta có:
$\begin{gathered} \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}} \right)\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4}} \right) \geqslant {\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3}} \right)^2} \hfill \\\Leftrightarrow \dfrac{{{a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3}}} \geqslant \dfrac{{{a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}}} \hfill \\ \end{gathered} $

làm tương tự, ta có được:
$\dfrac{{{a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}}} \geqslant \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}}}{{a + b + c + d}} \geqslant \dfrac{{a + b + c + d}}{4} = \dfrac{1}{2} $

Vậy, ta có :
${A_{\min }} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a = b = c = d = \dfrac{1}{2}$

Edited by wallunint, 23-02-2011 - 14:47.

[wallunint]

Bài 4: Cho a,b,c>0 thỏa mã a+b+c=1
Tìm $MinP=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}$

Theo BĐT Cauchy-Schwars, ta có:

$\begin{gathered}P = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{ac}} + \dfrac{1}{{bc}} \hfill \\ = \dfrac{1}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2} - 2\left( {ab + ac + bc} \right)}} + \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{ac}} + \dfrac{1}{{bc}} = \dfrac{1}{{1 - 2\left( {ab + ac + bc} \right)}} + \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{ac}} + \dfrac{1}{{bc}} \hfill \\= \dfrac{1}{{1 - 2\left( {ab + ac + bc} \right)}} + \dfrac{1}{{3ab}} + \dfrac{1}{{3ab}} + \dfrac{1}{{3ab}} + \dfrac{1}{{3ac}} + \dfrac{1}{{3ac}} + \dfrac{1}{{3ac}} + \dfrac{1}{{3bc}} + \dfrac{1}{{3bc}} + \dfrac{1}{{3bc}} \hfill \\\geqslant \dfrac{{{{\left( {1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1} \right)}^2}}}{{1 + 7ab + 7ac + 7bc}} \geqslant \dfrac{{100}}{{1 + 7\dfrac{{{{\left( {a + b + c}\right)}^2}}}{3}}} = 30 \hfill \\ \end{gathered} $

Edited by wallunint, 23-02-2011 - 14:58.

[Nguyễn Hoàng Nam]

Bài 3: Cho x,y>0 thỏa mãn $xy=1$
Tìm $MaxA=\dfrac{x}{x^4+y^2}+\dfrac{y}{y^4+x^2}$

Cảm ơn bạn wallunint đã tham gia rất tích cực vào topic này:). Do chưa có lời giải bài 3 nên mình xin đc phép giải luôn:
Biến đổi: $A=\dfrac{x}{x^4+y^2}+\dfrac{y}{y^4+x^2}=\dfrac{xy}{x^3.xy+y^3.xy}=2.\dfrac{1}{x^3+y^3} \leq \dfrac{2}{x+y} \leq 1 $
=> Max A=1

[Nguyễn Hoàng Nam]

Mình xin tiếp tục, mong nhận được sự hưởng ứng của các bạn....
Bài 2.1: Tìm Max: $3-2x+\sqrt{5-x^2+4x}$

Bài 2.2: Cho x,y,z dương thỏa mãn: $xy\sqrt{xy}+yz\sqrt{yz}+zx\sqrt{zx}=1$
Tìm $MinA=\dfrac{x^6}{x^3+y^3}+\dfrac{y^6}{y^3+z^3}+\dfrac{z^6}{z^3+x^3}$

Bài 2.3: Tìm $MinP=\dfrac{x+2\sqrt{1-x^2}+3}{\sqrt{1-x^2}}$

Bài 2.4: Tìm $MaxF=13\sqrt{x^2-x^4}+9\sqrt{x^2+x^4}$

Bài 2.5: Tìm Max:
a, $A=\sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}$ biết x+y=4
b, $B=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}$
c, $C=x+\sqrt{2-x}$
Bài 2.6: Cho $a \geq 3, b \geq, c \geq 2 $. Tìm Max:
$P=\sqrt{ab\sqrt{c-2}+bc\sqrt{a-3}+ca\sqrt{b-4}}{abc}$
Bài 2.7: Tìm $MinP=\sqrt{4x-x^3}+\sqrt{x+x^3}$ với $0 \leq x \leq 2 $

Bài 2.8: Cho a,b,c,d là các số dương thỏa mãn abcd=1.
Tìm $MinP=(\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b})+\sqrt{1+c}+\sqrt{1+d}$

Bài 2.9: Cho -1<x<1. Tìm $MinA=\dfrac{5-3x}{\sqrt{1-x^2}}$

Bài 2.10: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn: $a+b+c <\sqrt{3}$
Tìm $MaxA=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}$
Bài 2.11: Tìm Min, Max: $\delta=3\sqrt{x-1}+4\sqrt{5-x}$

Bài 2.12: Cho $0 \leq x \leq 3 $. Tìm $Min,MaxP=x\sqrt{5-x}+(3-x)\sqrt{2+x}$

Bài 2.13: Cho các số x,y,z dương thỏa mãn: $x^3+y^3+z^3=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
Tìm $MinP=\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}$

[le anh tu]

Mình xin tiếp tục, mong nhận được sự hưởng ứng của các bạn....

Bài 2.2: Cho x,y,z dương thỏa mãn: $xy\sqrt{xy}+yz\sqrt{yz}+zx\sqrt{zx}=1$
Tìm $MinA=\dfrac{x^6}{x^3+y^3}+\dfrac{y^6}{y^3+z^3}+\dfrac{z^6}{z^3+x^3}$

$A=\dfrac{x^6}{x^3+y^3}+\dfrac{y^6}{y^3+z^3}+\dfrac{z^6}{z^3+x^3} \geq \dfrac{x^3+y^3+z^3}{2} \geq \dfrac{\sqrt{ (xy)^{3} } + \sqrt{ (yz)^{3} } + \sqrt{ (xz)^{3} }}{2}= \dfrac{1}{2} $
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z= \dfrac{1}{ \sqrt[3]{3} } $

[NguyThang khtn]

Mình xin tiếp tục, mong nhận được sự hưởng ứng của các bạn....

Bài 2.5: Tìm Max:
a, $A=\sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}$ biết x+y=4
b, $B=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}$
c, $C=x+\sqrt{2-x}$

bài này dùng BĐT:
$\sqrt{x} + \sqrt{y} \leq \sqrt{2(x+y)}$ với x,y >0

Edited by bboy114crew, 26-02-2011 - 11:22.

[le anh tu]

bài này dùng BĐT:
$\sqrt{x} + \sqrt{y} \leq \sqrt{(x+y)}$ với x,y >0

Phải là thế này chứ $\sqrt{x} + \sqrt{y} \leq \sqrt{ \dfrac{x+y}{2} }$ với x,y >0

[Đặng Hoài Đức]

Mình xin tiếp tục, mong nhận được sự hưởng ứng của các bạn....


Bài 2.13: Cho các số x,y,z dương thỏa mãn: $x^3+y^3+z^3=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
Tìm $MinP=\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}$

<=> x^3/x*căn(1-x)+y^3/y*căn(1-y)+z^3/z*căn(1-z)
Mà x*căn(1-x) <=căn(x^2(1-x^2) =1
TT => P>= x^3+y^3+z^3 =3căn2/4

[Đặng Hoài Đức]

[quote name='Nguyễn Hoàng Nam' date='Feb 25 2011, 06:05 PM' post='253749']
Mình xin tiếp tục, mong nhận được sự hưởng ứng của các bạn....

Bài 2.7: Tìm $MinP=\sqrt{4x-x^3}+\sqrt{x+x^3}$ với $0 \leq x \leq 2 $

Theo BĐT Cauchy-Schwars, ta có (2P)^2<=6(9x-x^3)
Đặt A=9x-x^3=x*(9-x^2)
=> A^2=1/2*2x^2(9\x^2)(9-x^2)<=3*6^2
=> 4P^2<=6A=<36*căn3


PS: Hơi tắt một chút, ai hiểu thì viết ra cho cụ thể giúp.Thanks trước

Edited by Đặng Hoài Đức, 09-03-2011 - 18:14.