bài tập về số chính phương
#1
Posted 21-02-2011 - 17:09
Bài 1
a) Tìm số tự nhiên n ( n> 0) sao cho tổng 1! +2! +3! + ..... + n! là một số chính phương
b) Tìm số chính phương abcd và dcba sao cho dcba chia hết cho abcd ( abcd và dcba là một số có 4 chữ số! Mình không biết viết gạch ngang trên đầu thế nào thông cảm )
Bài 2: Tìm ab biết 2.ab + 1 và 3.ab +1 đều là ssos chính phương ( ab là 1 số có 2 chữ số, chú thích như bài 1b)
Bài 3: Tìm số tự nhiên n sao cho ( với n đạt giá trị nhỏ nhất, mỗi phần là 1 bài # nhau)
a) $ n^{2} + 65 $ là SCP
b) $ n^{2} + n + 91 $ là SCP
c)(n+1)(2n+1) chia hết cho 6 và là một SCP
d) $ 2^{8} + 2^{11} + 2^{n} $ là một SCP
bài 4: Tìm số nguyên lớn nhất n sao cho số T = $ 4^{31} + 4^{1020} + 4^{n} $ là SCP
bài 5: CMR: $ 2^{2p} + 2^{2q} $ ko thể là SCP với p,q là số tự nhiên
bài 6: Tím số tự nhiên n sao cho $ 2^{n} + 153 $ là SCP
bài 7: CMR: tổng các bình phương của m số tự nhiên liên tiếp không thể là 1 SCP với m thuộc {3;4;5;6}
bài 8: Cho m, n là hai số tự nhiên thỏa mãn: m/n = 1- (1/2)+(1/3)-(1/4)+.....+(1/1229)-(1/1330)+(1/1331)
CMR m chia hết cho 1997
bài 9: Tìm số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện sau: Một phần hai số đó là số chính phương, một phần ba số đó là lập phương của một số nguyên; một phần năm số đó là lũy thừ bậc năm của một số nguyên
ISAAC NEWTON
#2
Posted 21-02-2011 - 18:32
a.Nhận thấy n! nếu n>5 thì chia hết cho 5
1!+2!+3!+4!=33 chia 5 dư 3
=>khồng là scp
Để thỏa mãn n phải <5 và thử chọn ta có n=1,3 thỏa mãn
b.Suy ra thương của dcba cho abcd là 1 ,4 hoặc 9
Xét là` 1=> a=b=c=d=>ko tìm được (chắc thế ^^)
Xét là 4, thì a phải chẵn, lại là tận cùng của 1 scp nên thuộc 4,6 loại vì như thế abcd nhân 4 sẽ có 5 chữ số
Xét là 9 thì a bằng 1 =>d bằng 9, bc .9+8=cb =>b<2, b=1 =>c>=9 vậy c=9 thử lại ko tm
Vậy không tìm được số nào!
Edited by luvHg, 21-02-2011 - 18:55.
#3
Posted 21-02-2011 - 21:09
cau 3 giai bang may tinh casio de tim n be nhat.dạng bài này có một số bài có thể mò ra kết quả nhưng tớ mong bạn nào làm được có thể trình bày cách làm:) ko chỉ cho tớ mà cho các bạn # nữa
Bài 1
a) Tìm số tự nhiên n ( n> 0) sao cho tổng 1! +2! +3! + ..... + n! là một số chính phương
b) Tìm số chính phương abcd và dcba sao cho dcba chia hết cho abcd ( abcd và dcba là một số có 4 chữ số! Mình không biết viết gạch ngang trên đầu thế nào thông cảm )
Bài 2: Tìm ab biết 2.ab + 1 và 3.ab +1 đều là ssos chính phương ( ab là 1 số có 2 chữ số, chú thích như bài 1b)
Bài 3: Tìm số tự nhiên n sao cho ( với n đạt giá trị nhỏ nhất, mỗi phần là 1 bài # nhau)
a) $ n^{2} + 65 $ là SCP
b) $ n^{2} + n + 91 $ là SCP
c)(n+1)(2n+1) chia hết cho 6 và là một SCP
d) $ 2^{8} + 2^{11} + 2^{n} $ là một SCP
bài 4: Tìm số nguyên lớn nhất n sao cho số T = $ 4^{31} + 4^{1020} + 4^{n} $ là SCP
bài 5: CMR: $ 2^{2p} + 2^{2q} $ ko thể là SCP với p,q là số tự nhiên
bài 6: Tím số tự nhiên n sao cho $ 2^{n} + 153 $ là SCP
bài 7: CMR: tổng các bình phương của m số tự nhiên liên tiếp không thể là 1 SCP với m thuộc {3;4;5;6}
bài 8: Cho m, n là hai số tự nhiên thỏa mãn: m/n = 1- (1/2)+(1/3)-(1/4)+.....+(1/1229)-(1/1330)+(1/1331)
CMR m chia hết cho 1997
bài 9: Tìm số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện sau: Một phần hai số đó là số chính phương, một phần ba số đó là lập phương của một số nguyên; một phần năm số đó là lũy thừ bậc năm của một số nguyên
P/s: cau d la 1 cau nho trong de thi casio cap tinh vong 2 vua roi cua bon minh
#4
Posted 21-02-2011 - 21:13
rat cam on ban đa giup minh!!Mình đọc làm được luôn bài 1 trước nhé, mấy bài sau về nghĩ tiếp
a.Nhận thấy n! nếu n>5 thì chia hết cho 5
1!+2!+3!+4!=33 chia 5 dư 3
=>khồng là scp
Để thỏa mãn n phải <5 và thử chọn ta có n=1,3 thỏa mãn
b.Suy ra thương của dcba cho abcd là 1 ,4 hoặc 9
Xét là` 1=> a=b=c=d=>ko tìm được (chắc thế ^^)
Xét là 4, thì a phải chẵn, lại là tận cùng của 1 scp nên thuộc 4,6 loại vì như thế abcd nhân 4 sẽ có 5 chữ số
Xét là 9 thì a bằng 1 =>d bằng 9, bc .9+8=cb =>b<2, b=1 =>c>=9 vậy c=9 thử lại ko tm
Vậy không tìm được số nào!
minh ko biet cach lam, lam theo cach cua ban thi phan b) chua chinh xac.
a=1;b=9 => ta co : 9cb1=1bc9.9=> 9000+100c+10b+1=9000+900b+90c+81=> 10c=890b + 80 => c= 89b +8
do c =9 hoac <9 => c=8 => b=0
ta co abcd = 1089 va dcba = 9801 thoa man ma!!
( neu giup dc minh bai nao thi lam tiep nhe! dạng này minh ko biet cach lam, cung ko hieu lam)
Van thanks ban
ISAAC NEWTON
#5
Posted 21-02-2011 - 21:16
Trình bày trên giấy mà, giải như bt ấy
ISAAC NEWTON
#6
Posted 21-02-2011 - 21:31
the thi cung duoc. May cau nay thi dua ve phuong trinh uoc so. Chang han cau a,bạn ơi nhưng mấy bài này mình không dc giải theo casino như thế đâu:(
Trình bày trên giấy mà, giải như bt ấy
dat x^2+65=y^2 <=> (x-y)(x+y)=65. den day ban tu xet va tim x nho nhat.
cau b cung tuong tu nhung phai nhan voi 4.........
#7
Posted 21-02-2011 - 21:45
cau 2: http://vn.answers.ya...06180654AAoY9qEdạng bài này có một số bài có thể mò ra kết quả nhưng tớ mong bạn nào làm được có thể trình bày cách làm:) ko chỉ cho tớ mà cho các bạn # nữa
Bài 1
a) Tìm số tự nhiên n ( n> 0) sao cho tổng 1! +2! +3! + ..... + n! là một số chính phương
b) Tìm số chính phương abcd và dcba sao cho dcba chia hết cho abcd ( abcd và dcba là một số có 4 chữ số! Mình không biết viết gạch ngang trên đầu thế nào thông cảm )
Bài 2: Tìm ab biết 2.ab + 1 và 3.ab +1 đều là ssos chính phương ( ab là 1 số có 2 chữ số, chú thích như bài 1b)
Bài 3: Tìm số tự nhiên n sao cho ( với n đạt giá trị nhỏ nhất, mỗi phần là 1 bài # nhau)
a) $ n^{2} + 65 $ là SCP
b) $ n^{2} + n + 91 $ là SCP
c)(n+1)(2n+1) chia hết cho 6 và là một SCP
d) $ 2^{8} + 2^{11} + 2^{n} $ là một SCP
bài 4: Tìm số nguyên lớn nhất n sao cho số T = $ 4^{31} + 4^{1020} + 4^{n} $ là SCP
bài 5: CMR: $ 2^{2p} + 2^{2q} $ ko thể là SCP với p,q là số tự nhiên
bài 6: Tím số tự nhiên n sao cho $ 2^{n} + 153 $ là SCP
bài 7: CMR: tổng các bình phương của m số tự nhiên liên tiếp không thể là 1 SCP với m thuộc {3;4;5;6}
bài 8: Cho m, n là hai số tự nhiên thỏa mãn: m/n = 1- (1/2)+(1/3)-(1/4)+.....+(1/1229)-(1/1330)+(1/1331)
CMR m chia hết cho 1997
bài 9: Tìm số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện sau: Một phần hai số đó là số chính phương, một phần ba số đó là lập phương của một số nguyên; một phần năm số đó là lũy thừ bậc năm của một số nguyên
#8
Posted 21-02-2011 - 22:00
bai 6 : xet 2 truong hop :dạng bài này có một số bài có thể mò ra kết quả nhưng tớ mong bạn nào làm được có thể trình bày cách làm:) ko chỉ cho tớ mà cho các bạn # nữa
Bài 1
a) Tìm số tự nhiên n ( n> 0) sao cho tổng 1! +2! +3! + ..... + n! là một số chính phương
b) Tìm số chính phương abcd và dcba sao cho dcba chia hết cho abcd ( abcd và dcba là một số có 4 chữ số! Mình không biết viết gạch ngang trên đầu thế nào thông cảm )
Bài 2: Tìm ab biết 2.ab + 1 và 3.ab +1 đều là ssos chính phương ( ab là 1 số có 2 chữ số, chú thích như bài 1b)
Bài 3: Tìm số tự nhiên n sao cho ( với n đạt giá trị nhỏ nhất, mỗi phần là 1 bài # nhau)
a) $ n^{2} + 65 $ là SCP
b) $ n^{2} + n + 91 $ là SCP
c)(n+1)(2n+1) chia hết cho 6 và là một SCP
d) $ 2^{8} + 2^{11} + 2^{n} $ là một SCP
bài 4: Tìm số nguyên lớn nhất n sao cho số T = $ 4^{31} + 4^{1020} + 4^{n} $ là SCP
bài 5: CMR: $ 2^{2p} + 2^{2q} $ ko thể là SCP với p,q là số tự nhiên
bài 6: Tím số tự nhiên n sao cho $ 2^{n} + 153 $ là SCP
bài 7: CMR: tổng các bình phương của m số tự nhiên liên tiếp không thể là 1 SCP với m thuộc {3;4;5;6}
bài 8: Cho m, n là hai số tự nhiên thỏa mãn: m/n = 1- (1/2)+(1/3)-(1/4)+.....+(1/1229)-(1/1330)+(1/1331)
CMR m chia hết cho 1997
bài 9: Tìm số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện sau: Một phần hai số đó là số chính phương, một phần ba số đó là lập phương của một số nguyên; một phần năm số đó là lũy thừ bậc năm của một số nguyên
a) n le. dat n=2x+1
=> 2^n=2^(2x+1)=2.4^x=2.(3+1)^x chia cho 3 du 2, 157 chia het cho 3 => $ 2^{n} + 153 $ chia 3 du 2 => vo li
b) n chan. dat n=2x, $ 2^{n} + 153 $ =y^2
=>(y+2^x)(y-2^x)=153
lai la 1 phuong trinh uoc so ban tu giai!!
#9
Posted 21-02-2011 - 23:56
$ \overline{abcd} $
Bài 7
Theo mình nghĩ :
TH 3 số :
$ ( a - 1)^2 + a^2 + ( a + 1 )^2 $
$ = 3a^2 + 2$
Không có số chính phương nào có dạng 3k + 2 nên $ ( a - 1)^2 + a^2 + ( a + 1 )^2 $ không phải là số chính phương
TH 4 số :
$ a^2 + ( a + 1 )^2 + ( a + 2 )^2 + ( a + 3)^2 = a^2 + a^2 + 2a + 1 + a^2 + 4a + 4 + a^2 + 6a + 9 = 4a^2 + 12a + 14 = ( 2a )^2 + 2.2a.3 + 9 + 5 = ( 2a + 3)^2 + 5$
Ta có $ ( 2a + 3)^2 \leq ( 2a + 3 )^2 + 5 \leq ( 2a + 4 )^2 $
Vậy $ a^2 + ( a + 1 )^2 + ( a + 2 )^2 + ( a + 3)^2 $ không chính phương
TH 5 số :
$ a^2 + ( a + 1 )^2 + ( a + 2 )^2 + ( a + 3)^2 + ( a + 4 )^2 = 5a^2 + 20a + 30 = 5( a + 2 )^2 + 10 $
Lập luân tương tự , bạn chứng minh đây cũng không phải SCP ( tương tự với 6 số )
#10
Posted 22-02-2011 - 00:02
$ 2^8 + 2^{11} + 2^n = k^2 $
$ \Leftrightarrow 2^8( 2^3 + 1 ) + 2^n = k^2 $
$ \Leftrightarrow 16^2 . 3^2 + 2^n = k^2 $
$ \Leftrightarrow 2^n = k^2 - 48^2 = ( k - 48)( k + 48 )$
$ \Rightarrow k - 48 = 2^a ; k + 48= 2^b ( a ; b > 0)$ . Dễ thấy $ 2^b > 2^a$
Ta có : $ k + 48 - ( k - 48 ) = 2^b - 2^a = 2^a ( 2^{b - a} - 1) $
$ \Leftrightarrow 96 = 2^a ( 2^{b - a} - 1)$
$ \Leftrightarrow 2^5 ( 2^2 - 1 ) = 2^a ( 2^{b - a} - 1)$
$ \Rightarrow a = 5 ; b = 7$
Vậy n = 12
Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 22-02-2011 - 18:57.
- legolas333 likes this
#11
Posted 22-02-2011 - 12:43
Đề bảo là tìm n thỏ mãn cả 2 yêu cầu là chia hết cho 6 và là số chính phương ! Vậy Chung nghĩ là chứng minh hả em?Bài 3c sao vậy nhỉ , Với n = 1 , 2 không thỏa mãn để ( n + 1 )( 2n + 1 ) là số chính phương
N.HÍCHMÉT
Khó + Lười = Bất lực
#12
Posted 22-02-2011 - 18:25
Thks, mình nhầm chỗ xét a=1 b=9, mình nghĩ bc là số có 2 chữ số nên b>0 thiếu THrat cam on ban đa giup minh!!
minh ko biet cach lam, lam theo cach cua ban thi phan b) chua chinh xac.
a=1;b=9 => ta co : 9cb1=1bc9.9=> 9000+100c+10b+1=9000+900b+90c+81=> 10c=890b + 80 => c= 89b +8
do c =9 hoac <9 => c=8 => b=0
ta co abcd = 1089 va dcba = 9801 thoa man ma!!
( neu giup dc minh bai nao thi lam tiep nhe! dạng này minh ko biet cach lam, cung ko hieu lam)
Van thanks ban
Bạn xét như mình thì được b phải =0 từ đó thay vào bc.9+8=cb
<=>c.9+8=c.10 =>c=8 Thử lại thỏa mãn thì có 1089 là số cần tìm!
#13
Posted 22-02-2011 - 19:16
Bài 7 con một ý nữa: Khi m = 11 , hãy cho một ví dụ để chứng minh tổng các bình phương của m số tự nhiên liên tiếp là SCP.
p/s: mình thử VD: 1^2 + 2^2 + ....+ 10^2 + 11^2 = 506 ko là SCP!! ko biết đề bài có sai ko??
Mình chỉ biết bài này là đề thi olympic toán học quốc gia Ai-len 1991, bạn nào có đề gốc xem thử hộ mình nhé!!
ISAAC NEWTON
#14
Posted 22-02-2011 - 19:40
Tổng đã cho bằng
$ 4^{p} + 4^{q} $
Giả sử p>q
Đặt nhân tử chung =$ 4^{p} (1 + 4^{p-q}) $ => ta cần CM $ 4^{p-q} +1 $ không là scp với mọi kp,qthuộc N
Mà $ 4^{p-q} $ là scp khác 0, nên cộng 1 không thể là scp ( vì nếu thế 1 là hiệu 2 scp khác 0 hay 1=(a+b)(a-b) vô lý )
Như vậy ta có đpcm.
#15
Posted 22-02-2011 - 20:12
Với m=11 lấy 1 VD để Cm tổng các bình phương của m số liên tiếp là số chính phương
p/s: mình lấy VD : 1^2 +2^2+3^2+....+11^2 = 506 thì ko phải số chính phương??
ko biết đề bài có sai hay không, mình chỉ biết đây là đề thi olympi toán quốc gia Ai-len 1991, bạn nào có đề gốc xem lại hộ mình nhé?
ISAAC NEWTON
#16
Posted 23-02-2011 - 20:56
Bài này tớ có 1 cách khácVậy thì làm bài 3d nè :
$ 2^8 + 2^{11} + 2^n = k^2 $
$ \Leftrightarrow 2^8( 2^3 + 1 ) + 2^n = k^2 $
$ \Leftrightarrow 16^2 . 3^2 + 2^n = k^2 $
$ \Leftrightarrow 2^n = k^2 - 48^2 = ( k - 48)( k + 48 )$
$ \Rightarrow k - 48 = 2^a ; k + 48= 2^b ( a ; b > 0)$ . Dễ thấy $ 2^b > 2^a$
Ta có : $ k + 48 - ( k - 48 ) = 2^b - 2^a = 2^a ( 2^{b - a} - 1) $
$ \Leftrightarrow 96 = 2^a ( 2^{b - a} - 1)$
$ \Leftrightarrow 2^5 ( 2^2 - 1 ) = 2^a ( 2^{b - a} - 1)$
$ \Rightarrow a = 5 ; b = 7$
Vậy n = 12
* Xét n>8
$ 2^8+2^11+2^N=2^8(1+2^3+2^{2-8}=(2^4)^2(9+2^{n-8}$
để 2^8+2^11+2^n là số chính phương thì 9+2^(n-8)phải là scp
$9+2^{n-8}=t^2 \Rightarrow 2^{n-8}=(t-3)(t+3) \Rightarrow \left:{\begin{array}{l}t+3=2^x::t-3=2^y\end{array}:right.\Rightarrow 2^x-2^y=6 \Leftrightarrow 2^y(2^{x-y}-1)=6 ; x>y\geq 0\Rightarrow y=1 ;x=3\Rightarrow t=5\Rightarrow n=12 $
*Xét n:leq 8 ta ko tìm dc giá trị n(trường hợp này bạn tự cm)
Vậy n=12
#17
Posted 23-02-2011 - 21:03
Bài này tớ có 1 cách khác
* Xét n>8
$ 2^8+2^{11}+2^n=2^8(1+2^3+2^{n-8})=(2^4)^2(9+2^{n-8})$
Để $ 2^8+2^11+2^n$ là số chính phương thì $ 9+2^{n-8} $ phải là scp
$9+2^{n-8}=t^2 \Rightarrow 2^{n-8}=(t-3)(t+3) \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}t+3=2^x\\t-3=2^y\end{array}\right.\Rightarrow 2^x-2^y=6 \Leftrightarrow 2^y(2^{x-y}-1)=6 ; x>y\geq 0\Rightarrow y=1 ;x=3\Rightarrow t=5\Rightarrow n=12 $
*Xét $ n\leq 8 $ta không tìm được giá trị n (trường hợp này bạn tự CM)
Vậy n=12
#18
Posted 25-02-2011 - 17:51
Đặt A là số cần tìm Ta có:
A=$ 5 m^{5} = 3. n^{3}=2.p^{2} $
Như vậy A có các ước nguyên tố 5,3,2. Mà A là số bé nhất thỏa mãn nên ta có A=$ 5^{a}.3^{b}.2^{c} $
Xét nhân tử $ 5^{a} $, vì A/3=$ n^{3} $, A/2$ p^{2}$ nên $ n^{3} $,$ p^{2}$ chứa nhân tử $ 5^{a} $=> a phải chia hết cho 2,3
Mặt khác $ A=5.m^{5}$ nên a chia 5 dư 1.
=>a nhỏ nhất là 6
Tương tự ta có b chia hết cho 2,5, chia 3 dư 1 nên b nhỏ nhất là 10
c chia hết cho 5,3 chia 2 dư 1 nên c nhỏ nhất là 15
Vậy A nhỏ nhất là $5^{6}.3^{10}.2^{15} $ Thử lại thỏa mãn.
#19
Posted 11-03-2011 - 18:32
Toán Tuổi Thơ 2 thì phải
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#20
Posted 14-03-2011 - 19:40
mình nghĩ hình như bài 6 là ở trong tạp chí
Toán Tuổi Thơ 2 thì phải
Các bạn ơi cho mình hỏi, cách nhận biết một số có tới 50 chữ số có phải là số chính phương k?
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users