Edited by baybay1, 09-03-2011 - 14:25.
Tìm GTLN
Started By baybay1, 09-03-2011 - 14:25
#1
Posted 09-03-2011 - 14:25
Cho $ \ x^{2} + y^{2} $ = 14x + 6y + 6. Tìm giá trị lớn nhất của 3x + 4y
#2
Posted 09-03-2011 - 18:41
Có một cách làm cho những bài như thế này, như sau:Cho $ \ x^{2} + y^{2} $ = 14x + 6y + 6. Tìm giá trị lớn nhất của 3x + 4y
Ta có
$\begin{align*}& \left(x-\left(\dfrac{3a+14}{2}\right)\right)^2+\left(y-\left(\dfrac{4a+6}{2}\right)\right)^2\ge 0 \\ & \Leftrightarrow (x^2+y^2-14x-6y-6)-a(3x+4y)+\dfrac{25a^2+132a+256}{4} \ge 0\end{align*}$
Từ đây, $\forall a>0$, ta sẽ có :
$3x+4y\le \dfrac{25a^2+132a+256}{4a} \Rightarrow 3x+4y\le Min\left(\dfrac{25a^2+132a+256}{4a}\right)$
Bài toán của ta được giải quyết, với nhiệm vụ đơn giản hơn rất nhiều
Với $a>0$ tìm $Min\left(\dfrac{25a^2+132a+256}{4a}\right)$
Tìm được $Min\left(\dfrac{25a^2+132a+256}{4a}\right)=73$ tại $a=\dfrac{16}{5}$(dành cho bạn điều này)
Khi đó ta có :
$\left(x-\dfrac{59}{5}\right)^2+\left(y-\dfrac{47}{5}\right)^2\ge 0$
Tóm lại:
$Max\left(3x+4y\right)=73$ đạt được tại $\left(x,y\right)=\left(\dfrac{59}{5},\dfrac{47}{5}\right)$
Edited by hxthanh, 30-12-2011 - 15:24.
#3
Posted 09-03-2011 - 20:48
Tương tự ta có bài toán:
Với $x^2+y^2=14x+6y+6$
Tìm $Min\left(3x+4y\right)$
------------------------------------------
Lời giải: Ta có:
$\left(x-\left(\dfrac{14-3a}{2}\right)\right)^2+\left(y-\left(\dfrac{6-4a}{2}\right)\right)^2\ge 0\;\;(1)$
$ \Leftrightarrow \left(x^2+y^2-14x-6y-6\right)+a(3x+4y)+\dfrac{25a^2-132a+256}{4}\ge 0$
Từ đây với $\forall a>0$ ta có
$3x+4y \ge \dfrac{132a-25a^2-256}{4a} \Rightarrow 3x+4y \ge Max\left(\dfrac{132a-25a^2-256}{4a}\right)$
Ta có:
$\dfrac{132a-25a^2-256}{4a}=33-\left(\dfrac{25a}{4}+\dfrac{64}{a}\right) \le 33-2\sqrt{\dfrac{25a}{4}.\dfrac{64}{a}}=-7\;\;.$ (AM-GM)
Dấu "=" xảy ra khi $a=\dfrac{16}{5}$
Khi đó (1) trở thành:
$\left(x-\dfrac{11}{5}\right)^2+\left(y+\dfrac{17}{5}\right)^2\ge 0\;\;(1)$
Do đó:
$Min\left(3x+4y\right)=-7$ đạt được tại $\left(x,y\right)=\left(\dfrac{11}{5},-\,\dfrac{17}{5}\right)$
Với $x^2+y^2=14x+6y+6$
Tìm $Min\left(3x+4y\right)$
------------------------------------------
Lời giải: Ta có:
$\left(x-\left(\dfrac{14-3a}{2}\right)\right)^2+\left(y-\left(\dfrac{6-4a}{2}\right)\right)^2\ge 0\;\;(1)$
$ \Leftrightarrow \left(x^2+y^2-14x-6y-6\right)+a(3x+4y)+\dfrac{25a^2-132a+256}{4}\ge 0$
Từ đây với $\forall a>0$ ta có
$3x+4y \ge \dfrac{132a-25a^2-256}{4a} \Rightarrow 3x+4y \ge Max\left(\dfrac{132a-25a^2-256}{4a}\right)$
Ta có:
$\dfrac{132a-25a^2-256}{4a}=33-\left(\dfrac{25a}{4}+\dfrac{64}{a}\right) \le 33-2\sqrt{\dfrac{25a}{4}.\dfrac{64}{a}}=-7\;\;.$ (AM-GM)
Dấu "=" xảy ra khi $a=\dfrac{16}{5}$
Khi đó (1) trở thành:
$\left(x-\dfrac{11}{5}\right)^2+\left(y+\dfrac{17}{5}\right)^2\ge 0\;\;(1)$
Do đó:
$Min\left(3x+4y\right)=-7$ đạt được tại $\left(x,y\right)=\left(\dfrac{11}{5},-\,\dfrac{17}{5}\right)$
Edited by hxthanh, 09-03-2011 - 21:39.
#4
Posted 09-03-2011 - 21:08
Cam on ban nhe. Nhung vi sao: $3x+4y\le \dfrac{25a^2+132a+256}{4a} \Rightarrow 3x+4y\le Min\left(\dfrac{25a^2+132a+256}{4a}\right)$. Minh chua hieu lam
#5
Posted 09-03-2011 - 21:12
Thế này nhé!
Vế Phải thay đổi thế nào tùy ý nhưng vẫn lớn hơn hay bằng Vế Trái. Thế chẳng phải là Giá trị nhỏ nhất của VP cũng lớn hơn hay bằng VT thì là gì? Ok?
Vế Phải thay đổi thế nào tùy ý nhưng vẫn lớn hơn hay bằng Vế Trái. Thế chẳng phải là Giá trị nhỏ nhất của VP cũng lớn hơn hay bằng VT thì là gì? Ok?
#6
Posted 09-03-2011 - 22:33
uhm. thanks. Nhung vì sao lại biết và đi từ BĐT:
$\left(x-\left(\dfrac{14-3a}{2}\right)\right)^2+\left(y-\left(\dfrac{6-4a}{2}\right)\right)^2\ge 0\;\;$
Hay thế. Bạn có thể nói rõ hơn được không
$\left(x-\left(\dfrac{14-3a}{2}\right)\right)^2+\left(y-\left(\dfrac{6-4a}{2}\right)\right)^2\ge 0\;\;$
Hay thế. Bạn có thể nói rõ hơn được không
Edited by baybay1, 09-03-2011 - 22:44.
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users