Chủ đề này có 7 trả lời

[khacduongpro_165]

Câu 1: Tính $\int_{-\dfrac{\Pi }{4}}^{\dfrac{\pi}{4}}ln(tanx+\sqrt{tan^2x+e^{sin^2x}})dx$

Câu 2:cho $f$ là một hàm có đạo hàm cấp $n$, liên tục trên $[a,b]$ và$f(x_1)=f(x_2)=...=f(x_n)$ và $a\leq x_1<x_2<...<x_n\leq b$

Ký hiệu: $M=\underset{x\epsilon [a,b]}{Max|f^{(n)}(x)|}$ Chứng minh $\forall x:|f(x)|\leq \dfrac{M}{n!}.\prod_{i=1}^{n}|x-x_i|$

Câu 3: Cho dãy
${U_n}$ có $U_0$ cho trước $0<U_0<1,U_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+U_n}{2}},V_n=\prod_{i=1}^{n}U_i$
Chứng minh dãy $V_n$ có giới hạn hữu hạn, tính giới hạn đó. Trong trường hợp $U_0\geq 1$ thì kết quả thế nào?

Câu 4: Tìm tất cả các hàm$f$ liên tục trên toàn trục số thỏa mãn:$f(x)-f(y)=\int_{x+2y}^{2x+y}f(t)dt,\forall x,y\epsilon R$

Câu 5: Cho$f$ là hàm có đạo hàm cấp 2 liên tục trên $[0,1]$ có $f(0)=f(1)=0$ và $\underset{x\epsilon [0,1]}{Min}f(x)=-1$. Chứng minh:
$\underset{x\epsilon [0,1]}{Max}f"(x)\geq 8.$

[dark templar]

Câu 3: Cho dãy
${U_n}$ có $U_0$ cho trước $0<U_0<1,U_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+U_n}{2}},V_n=\prod_{i=1}^{n}U_i$
Chứng minh dãy $V_n$ có giới hạn hữu hạn, tính giới hạn đó. Trong trường hợp $U_0\geq 1$ thì kết quả thế nào?

Mấy câu kia hơi khó,để em chém câu dãy trước
Sử dụng quy nạp,ta chứng minh được $0< \{u_n \} <1 $ với $0<u_0<1$
Ta sẽ chứng minh $\{u_n \}$ là dãy tăng $ \Leftrightarrow u_{n+1}>u_n \Leftrightarrow 2u_n^2-u_n-1<0 \Leftrightarrow (u_n-1)(2u_n+1)<0$(luôn đúng do $0<u_n<1$)
Vậy $\{u_n \}$ là dãy tăng và bị chặn trên bởi 1 $ \Rightarrow \exists a:a=\lim u_n ,a>0$
Sử dụng qua giới hạn,ta có:$a=\sqrt{\dfrac{1+a}{2}} \Leftrightarrow a=1$
Vậy $\lim u_n=1$
Ta xét đến $\{v_n \}$ có $v_{n+1}=v_n.u_{n+1}<v_n$(do $\{u_n \}<1$).Suy ra $\{v_n \}$ là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0
$ \Rightarrow \exists b:b=\lim v_n ,b>0 \Rightarrow b=1.1.1.1.....1=1$(do $\lim u_n=1$)
Vậy $\lim v_n=1$
Trong trường hợp $u_0 \ge 1$ thì $\{u_n \}$ không có giới hạn hữu hạn nên dẫn đến $\{v_n \}$ cũng không có giới hạn hữu hạn
------------------------------------------------------------------------------------------
P/s:Chúng ta cũng có thể tìm ra SHTQ của $\{u_n \};\{v_n \}$,các bạn thử làm đi nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 20-03-2011 - 11:26

[khacduongpro_165]

Nếu đặt như anh thì chúng ta còn vướng lấy đk cho $a$ thì khi tính $\lim u_n$ sẽ làm rối thêm

Với $0<U_0<1$ thì việc lấy điều kiện hoàn toàn đơn giản! Với lại đây chính là gợi ý để dùng lượng giác! Em thử làm chi tiết xem!

Nếu $U_0=cosa$ thì $U_1=cos\dfrac{a}{2}\Rightarrow U_n=cos\dfrac{a}{2^n} $ Việc tìm $V_n$ trở nên dễ dàng! ìm Lim cũng thế!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khacduongpro_165: 20-03-2011 - 11:45

[khacduongpro_165]

Với $0<U_0<1$ thì việc lấy điều kiện hoàn toàn đơn giản! Với lại đây chính là gợi ý để dùng lượng giác! Em thử làm chi tiết xem!

Nếu $U_0=cosa$ thì $U_1=cos\dfrac{a}{2}\Rightarrow U_n=cos\dfrac{a}{2^n} $ Việc tìm $V_n$ trở nên dễ dàng! tìm Lim cũng thế!

$V_n=\dfrac{Sina}{2^n.sin\dfrac{a}{2^n} }$ mà khi $n->\infty$ thì $\dfrac{a}{2^n}->0$ nên có thể áp dụng giới hạn: $Lim_{x\to 0}\dfrac{Sinx}{x}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khacduongpro_165: 20-03-2011 - 12:15

[Crystal]

Câu 5: Cho$f$ là hàm có đạo hàm cấp 2 liên tục trên $[0,1]$ có $f(0)=f(1)=0$ và $\underset{x\epsilon [0,1]}{Min}f(x)=-1$. Chứng minh:
$\underset{x\epsilon [0,1]}{Max}f"(x)\geq 8.$

Em thử câu 5

Ta có f liên tục trên $\left[ {0;1} \right] \Rightarrow \exists a \in \left[ {0;1} \right]:f\left( a \right) = \mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = - 1$

$\Rightarrow f'\left( a \right) = 0,\,\,a \in \left( {0;1} \right)$.

Khai triển Taylor tại a: $f\left( x \right) = - 1 + \dfrac{{f\left[ {a + \alpha \left( {x - a} \right)} \right]}}{2}\left( {x - a} \right)^2 \,\,,\,\,0 < \alpha < 1$.

$+ \,\,x = 0:\,\,0 = - 1 + \dfrac{{f''\left( {c_1 } \right)}}{2}a^2 \,,\,\,\,0 < c_1 < a$

$+ \,\,x = 1:\,\,0 = - 1 + \dfrac{{f''\left( {c_2 } \right)}}{2}\left( {1 - a} \right)^2 \,,\,\,\,a < c_2 < 1$

Do đó:
$f''\left( {c_1 } \right) = \dfrac{2}{{a^2 }} \ge 8\,\,\,if\,\,a \le \dfrac{1}{2}\,\,;\,\,\,f''\left( {c_2 } \right) = \dfrac{2}{{\left( {1 - a} \right)^2 }} \ge 8\,\,\,if\,\,a \ge \dfrac{1}{2}$

Vậy $\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} f''\left( x \right) \ge 8$. (đpcm)

[LangTu Mua Bui]

Câu 4

$f(x)-f(y)=\int_{x+2y}^{2x+y}f(t)dt \Rightarrow f(x)=f(0)+\int_{x}^{2x}f(t)dt$ Nên f(x) là hàm khả vi do theo đn$ f(x)=\int f'(x)+C$ 
 

$f(x)-f(y)=\int_{x+2y}^{2x+y}f(t)dt \Rightarrow f'(x)=2f(2x+y)-f(x+2y) $(Đạo hàm  2 vế theo x )

$\Rightarrow 2f'(x+2y)=2f(2x+y)$( Đạo hàm tiếp  theo biến y)

$\Leftrightarrow f'(x+2y)=f'(2x+y)\Leftrightarrow f((x+y)+y)=f(x+(x+y)) x=\beta -(x+y) y=\alpha -(x+y)$

$\Leftrightarrow f'(\alpha )=f'(\beta ) \forall \alpha ;\beta \in R \Rightarrow f'(x)=C \Rightarrow f(x)=ax+b$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LangTu Mua Bui: 20-11-2015 - 10:49

[LangTu Mua Bui]

Câu 1 $I=\int_{-\dfrac{\Pi }{4}}^{\dfrac{\pi}{4}}ln(tanx+\sqrt{tan^2x+e^{sin^2x}})dx$

Đặt $x=-t  \Rightarrow I= \int_{-\dfrac{\Pi }{4}}^{\dfrac{\pi}{4}}ln(\sqrt{tan^2x+e^{sin^2x}}-\tan{x})dx$

 

$2I=\int_{-\dfrac{\Pi }{4}}^{\dfrac{\pi}{4}}ln(\sqrt{tan^2x+e^{sin^2x}}-\tan{x})dx+\int_{-\dfrac{\Pi }${4}}^{\dfrac{\pi}{4}}ln(tanx+\sqrt{tan^2x+e^{sin^2x}})dx$

$\int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\ln{e^{\sin^{2}x}}dx=\int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{(1-\cos{2x})}{2}dx$

[LangTu Mua Bui]

Câu 1: Tính $\int_{-\dfrac{\Pi }{4}}^{\dfrac{\pi}{4}}ln(tanx+\sqrt{tan^2x+e^{sin^2x}})dx$

Câu 2:cho $f$ là một hàm có đạo hàm cấp $n$, liên tục trên $[a,b]$ và$f(x_1)=f(x_2)=...=f(x_n)$ và $a\leq x_1<x_2<...<x_n\leq b$

Ký hiệu: $M=\underset{x\epsilon [a,b]}{Max|f^{(n)}(x)|}$ Chứng minh $\forall x:|f(x)|\leq \dfrac{M}{n!}.\prod_{i=1}^{n}|x-x_i|$

Câu 3: Cho dãy
${U_n}$ có $U_0$ cho trước $0<U_0<1,U_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+U_n}{2}},V_n=\prod_{i=1}^{n}U_i$
Chứng minh dãy $V_n$ có giới hạn hữu hạn, tính giới hạn đó. Trong trường hợp $U_0\geq 1$ thì kết quả thế nào?

Câu 4: Tìm tất cả các hàm$f$ liên tục trên toàn trục số thỏa mãn:$f(x)-f(y)=\int_{x+2y}^{2x+y}f(t)dt,\forall x,y\epsilon R$

Câu 5: Cho$f$ là hàm có đạo hàm cấp 2 liên tục trên $[0,1]$ có $f(0)=f(1)=0$ và $\underset{x\epsilon [0,1]}{Min}f(x)=-1$. Chứng minh:
$\underset{x\epsilon [0,1]}{Max}f"(x)\geq 8.$

Câu 2 f(x_{1})=f(x_{2})=... có =0 vậy .