bat dang thuc
#1
Đã gửi 21-03-2011 - 21:20
tìm min P= (3+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})(3+\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c})(3+\dfrac{1}{c}+\dfrac{a}
2)tìm min A=(cos^{2}a+\dfrac{1}{cos^{2}a})^{2}+(sin^{2}a+\dfrac{1}{sin^{2}a})^{2}
3)Cho x,y R, x^{3}+y^{3}=-2
CM -2 x+y 0
4)cho a,b,c>0.CM
\dfrac{1}{a^{2}+bc}+\dfrac{1}{b^{2}+ac}+\dfrac{c^{2}+ab} \dfrac{a+b+c}{2abc}
5)cho x,y,z>0.CM
(1+\dfrac{x}{y})(1+\dfrac{y}{z})(1+\dfrac{z}{x} 2(1+\dfrac{x+y+z}{ :sqrt[3]{xyz} )
6)cho x,y,z>0,x+y+z=1.CM
\dfrac{xy}{z+1}+\dfrac{yz}{x+1}+\dfrac{xz}{y+1} \dfrac{1}{4} $
#2
Đã gửi 21-03-2011 - 21:50
Đề thế này hả bạn1)Cho a,b,c>0 và $a+b+c \leq \dfrac{3}{2}$
tìm min$ P= (3+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})(3+\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c})(3+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}$
2)tìm min $A=(cos^{2}a+\dfrac{1}{cos^{2}a})^{2}+(sin^{2}a+\dfrac{1}{sin^{2}a})^{2}$
3)Cho$ x,y \in R, x^{3}+y^{3}=-2$
CM $-2 \leq x+y \leq 0$
4)cho a,b,c>0.CM
$\dfrac{1}{a^{2}+bc}+\dfrac{1}{b^{2}+ac}+\dfrac{1}{c^{2}+ab} \leq \dfrac{a+b+c}{2abc}$
5)cho x,y,z>0.CM
$ (1+ \dfrac{x}{y})(1+ \dfrac{y}{z})(1+ \dfrac{z}{x}) \geq 2(1+ \dfrac{x+y+z}{ \sqrt[3]{xyz} }) $
6)cho $x,y,z>0,x+y+z=1.CM$
$\dfrac{xy}{z+1}+\dfrac{yz}{x+1}+\dfrac{xz}{y+1} \leq \dfrac{1}{4} $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le anh tu: 21-03-2011 - 21:59
#3
Đã gửi 22-03-2011 - 09:42
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoctrungtrinh: 22-03-2011 - 10:06
#4
Đã gửi 22-03-2011 - 12:43
Hiển nhiên ${\left( {x - \dfrac{y}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{y^2}}}{4} > 0$
$ \Rightarrow x + y \le 0$. Dấu $=$ xảy ra khi $x=-y$ . Chỗ này cũng vô lý ...
Còn cái này bạn sai rồi nè $x + y \ge - 2\forall x;y \in R$. Chỉ cần thế vài giá trị vào là nhận ra !
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lê Xuân Trường Giang: 22-03-2011 - 12:45
N.HÍCHMÉT
Khó + Lười = Bất lực
#5
Đã gửi 22-03-2011 - 18:34
$\dfrac{1}{{a^2 + bc}} \le \dfrac{1}{{2a\sqrt {bc} }} = \dfrac{{\sqrt {bc} }}{{2abc}}$
làm tương tự rồi cộng các BĐT tương tự và lưu ý bđt $a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} $
ta có:
$VT \le \dfrac{1}{{2a\sqrt {bc} }} + \dfrac{1}{{2b\sqrt {ac} }} + \dfrac{1}{{2c\sqrt {ab} }} = \dfrac{{\sqrt {bc} }}{{2abc}} + \dfrac{{\sqrt {ac} }}{{2abc}} + \dfrac{{\sqrt {ab} }}{{2abc}} \le VP$
Vì cuộc sống luôn thay màu .... !!!
#6
Đã gửi 22-03-2011 - 18:55
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge \dfrac{{a + b + c}}{{\sqrt[3]{{abc}}}}$
Bài 6: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $\dfrac{{xy}}{{x + y + 2z}} + \dfrac{{yz}}{{2x + y + z}} + \dfrac{{xz}}{{x + 2y + z}} \le \dfrac{1}{4}$
Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:
$\begin{array}{l}\dfrac{{xy}}{{x + y + 2z}} \le \dfrac{{xy}}{4}\left( {\dfrac{1}{{x + z}} + \dfrac{1}{{z + y}}} \right)\\\dfrac{{xz}}{{x + 2y + z}} \le \dfrac{{xz}}{4}\left( {\dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{z + y}}} \right)\\\dfrac{{yz}}{{2x + y + z}} \le \dfrac{{yz}}{4}\left( {\dfrac{1}{{x + z}} + \dfrac{1}{{x + y}}} \right)\end{array}$
Cộng các bất đẳng thức trên, ta có $VT \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{{y\left( {x + z} \right)}}{{x + z}} + \dfrac{{z\left( {x + y} \right)}}{{x + y}} + \dfrac{{x\left( {z + y} \right)}}{{z + y}}} \right) = \dfrac{1}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 22-03-2011 - 20:37
Vì cuộc sống luôn thay màu .... !!!
#7
Đã gửi 22-03-2011 - 20:25
Áp dụng Cô-si 7 số ta có:
$1+1+1 + \dfrac{1}{2b} + \dfrac{1}{2b} + \dfrac{1}{2c} + \dfrac{1}{2c} \ge 7.\sqrt[7]{\dfrac{1}{16.b^2c^2}}$
Làm tương tự r�#8220;i nhân lại. chú ý thêm
$abc \le (\dfrac{a+b+c}{3})^3 \le \dfrac{1}{8}$
ta có ngay dpcm!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi h.vuong_pdl: 22-03-2011 - 20:26
rongden_167
#8
Đã gửi 22-03-2011 - 20:28
Khi dó hiển nhiên có: $(a+b)(a-b)^2 \le 0 \to a^3+b^3 \le ab(a+b) \to 4(a^3+b^3) \le (a+b)^3$
Vậy $(a+b)^3 \ge -8 \Rightarrow a+b \ge -2$
Vậy ta có ngay đpcm!
rongden_167
#9
Đã gửi 22-03-2011 - 20:33
ta có: $\dfrac{4yz}{x+1} = \dfrac{4yz}{(x+y)+(x+z)} \le \dfrac{yz}{x+y} + \dfrac{yz}{x+z} $
Làm tương tự rồi cộng lại, bạn để ý tí ở chỗ ghép lại :
$\dfrac{yz}{x+y} + \dfrac{zx}{x+y} = z$
từ đó dẽ thấy ngay đpcm!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi h.vuong_pdl: 22-03-2011 - 20:51
rongden_167
#10
Đã gửi 22-03-2011 - 20:39
Đặt $a = \sin^2x, b=\cos^2x thì a,b > 0 \to a+b=1$
ta có:
$A = (a+\dfrac{1}{a})^2 + (b+\dfrac{1}{b})^2 = 5 + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge 5 + \dfrac{4}{a+b} =9$
Vậy $\textup{min}_A = 9 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k.\pi$
rongden_167
#11
Đã gửi 22-03-2011 - 20:40
h.vuong_pdl có thể xem lại bài tôi post có hợp lý không nhi?Bài 3: Chứng minh được $a+b \le 0$ như trên,
Khi dó hiển nhiên có: $(a+b)(a-b)^2 \le 0 \to a^3+b^3 \le ab(a+b) \to 4(a^3+b^3) \le (a+b)^3$
Vậy $(a+b)^3 \ge -8 \Rightarrow a+b \ge -2$
Vậy ta có ngay đpcm!
Đề cho $x;y \in R$ mà!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lê Xuân Trường Giang: 22-03-2011 - 20:44
N.HÍCHMÉT
Khó + Lười = Bất lực
#12
Đã gửi 22-03-2011 - 20:42
Anh giải thích giùm em đoạn $A = (a+\dfrac{1}{a})^2 + (b+\dfrac{1}{b})^2 = 5 + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$ được không ạ ? Rồi : $ x = \dfrac{\pi}{4} + k.\pi $Bài 2: để ý $sin^2\alpha+cos^2\alpha = 1$
Đặt $a = \sin^2x, b=\cos^2x thì a,b > 0 \to a+b=1$
ta có:
$A = (a+\dfrac{1}{a})^2 + (b+\dfrac{1}{b})^2 = 5 + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge 5 + \dfrac{4}{a+b} =9$
Vậy $\textup{min}_A = 9 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k.\pi$
#13
Đã gửi 22-03-2011 - 21:00
Anh giải thích giùm em đoạn $A = (a+\dfrac{1}{a})^2 + (b+\dfrac{1}{b})^2 = 5 + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$ được không ạ ? Rồi : $ x = \dfrac{\pi}{4} + k.\pi $
híc, sorry, sorry
nhầm, $A = a^2+b^2+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2} + 4 = (a^2+\dfrac{1}{4a^2}) + (b^2+\dfrac{1}{4b^2}) + (\dfrac{3}{4a^2}+\dfrac{3}{4b^2})+4 \\ 1+1+ 2.\dfrac{3}{4ab} + 4 \ge 6+\dfrac{6}{(a+b)^2}=12$
rongden_167
#14
Đã gửi 22-03-2011 - 21:06
Điều kiện xảy ra $=$ cũng mệt!híc, sorry, sorry
nhầm, $A = a^2+b^2+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2} + 4 = (a^2+\dfrac{1}{4a^2}) + (b^2+\dfrac{1}{4b^2}) + (\dfrac{3}{4a^2}+\dfrac{3}{4b^2})+4 \\ 1+1+ 2.\dfrac{3}{4ab} + 4 \ge 6+\dfrac{6}{(a+b)^2}=12$
N.HÍCHMÉT
Khó + Lười = Bất lực
#15
Đã gửi 23-03-2011 - 20:41
Công nhận mem của VMF đang học theo mem của MathScope hay sao ý. Bài giải, lời giải không bao giờ đầy đủ, không hiểu khi đi thi có quen kiểu "dễ thấy", "$\ge...,\;\;\;\le...$ đpcm" hay không nữa!Điều kiện xảy ra $=$ cũng mệt!
Nhất là những bài tìm Min, Max, nếu không chỉ ra trường hợp dấu bằng không có điểm!
#16
Đã gửi 23-03-2011 - 21:15
#17
Đã gửi 23-03-2011 - 23:22
Điều kiện xảy ra dấu $=$ là $\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = \dfrac{1}{{4{a^2}}}\\{b^2} = \dfrac{1}{{4{b^2}}}\\a = b\\\dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{{{b^2}}}\end{array} \right. \Rightarrow a = b \Leftrightarrow \sin x = \cos x \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \Rightarrow $ sai mà đúng!
N.HÍCHMÉT
Khó + Lười = Bất lực
#18
Đã gửi 24-03-2011 - 18:48
Thế $sin x= - cos x$ có xảy ra dấu bằng không bạn?$A = a^2+b^2+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2} + 4 = (a^2+\dfrac{1}{4a^2}) + (b^2+\dfrac{1}{4b^2}) + (\dfrac{3}{4a^2}+\dfrac{3}{4b^2})+4 \\ 1+1+ 2.\dfrac{3}{4ab} + 4 \ge 6+\dfrac{6}{(a+b)^2}=12$
Điều kiện xảy ra dấu $=$ là $\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = \dfrac{1}{{4{a^2}}}\\{b^2} = \dfrac{1}{{4{b^2}}}\\a = b\\\dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{{{b^2}}}\end{array} \right. \Rightarrow a = b \Leftrightarrow \sin x = \cos x \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \Rightarrow $ sai mà đúng!
Theo mình dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}$ mới chính xác!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh