Chủ đề này có 6 trả lời

[choisiwon]

cho a,b,c là các số dương thoả a+b+c = 1. chứng minh rằng:
$\sqrt{a+(b-c)^2} + \sqrt{b+(c-a)^2} + \sqrt{c+(a-b)^2}\ge \sqrt{3}$
Sao bài này mình làm hoài mà ko ra ??

[trung_dothanh35]

VT $ \sqrt{3} $ $ \sqrt{a+b+c+2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc} $
Cần CM a+b+c+2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc 1
=> Xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trung_dothanh35: 26-03-2011 - 20:38

[le anh tu]

VT $ \sqrt{3} $ $ \sqrt{a+b+c+2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc} $
Cần CM a+b+c+2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc 1
=> Xong

BĐT nhầm dấu rồi bạn.Nếu áp dụng C-S thì fải thế này chứ:VT $ \sqrt{3} $ $ \sqrt{a+b+c+2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc} $

[Giang1994]

các bạn tham khảo cách này nha!
cần Cm.
$ \sqrt{a+(b-c)^2}\geq \dfrac{ \sqrt{3}a(b+c)}{2(ab+bc+ca)}$
tương đương
$\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{(b-c)^2}{(a+b+c)^2} \geq \dfrac{3a^2(b+c)^2}{4(ab+bc+ca)^2}$
bỏ qua a+b+c=1 chuẩn hóa b+c=1, đặt x=bc ta viết lại $(0 \leq x \leq\dfrac{1}{4})$
$f(x)=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{1-4x}{(a+1)^2}-\dfrac{3a^2}{4(a+x)^2}\geq0 $
f(x) là hàm lõm
vậy $f(x) \geq min{f(0),f(\dfrac{1}{4})}$
đến đây là được rồi

[tuan101293]

Ký hiệu $\sum a=a+b+c$,tổng quát $\sum f(x,y,z)=f(x,y,z)+f(y,z,x)+f(z,x,y)$
Bình phương bdt ta phải CM
$\sum(a+(b-c)^2)+2\sum \sqrt{a+(b-c)^2}\sqrt{b+(c-a)^2}\ge 3$
chú ý
+,$\sqrt{a+(b-c)^2}\sqrt{b+(c-a)^2}=\sqrt{a^2+a(b+c)+(b-c)^2}\sqrt{b^2+b(c+a)+(c-a)^2}\ge ab+\sqrt{ab(b+c)(c+a)}+|(b-c)(c-a)|$
+,$\sum |(a-b)(a-c)|\ge |\sum (a-b)(a-c)|=\sum a^2-\sum ab$
+,$\sqrt{ab(b+c)(c+a)}\ge \sqrt{ab}(c+\sqrt{ab})=ab+\sqrt{ab}c$
nên $\sum \sqrt{a+(b-c)^2}\sqrt{b+(c-a)^2}\ge \sum ab+\sum ab+\sum \sqrt{ab}c+\sum a^2-\sum ab=\sum ab+\sum a^2+\sqrt{abc}(\sum \sqrt{a})$
Giản ước 2 vế ta sẽ CM
$2\sum a^2+\sqrt{abc}(\sum \sqrt{a})\ge 1$ hay $\sum a^2+\sqrt{abc}(\sum \sqrt{a})\ge 2\sum ab$
chú ý theo schur với k=2 có
$\sum a^4+abc(\sum a)\ge \sum (a^3b+b^3a)\ge 2\sum a^2b^2$
thay $a=\sqrt{a},b=\sqrt{b},c=\sqrt{c}$ ta có đúng
ĐPCM

[anhtuanDQH]

cho a,b,c là các số dương thoả a+b+c = 1. chứng minh rằng:
$\sqrt{a+(b-c)^2} + \sqrt{b+(c-a)^2} + \sqrt{c+(a-b)^2}\ge \sqrt{3}$
Sao bài này mình làm hoài mà ko ra ??

Ặc thôi chết mình nhầm , xin lỗi nha .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhtuanDQH: 29-03-2011 - 21:46

[dark templar]

Áp dụng BDT Cauchy - schwarz ta có :
VT$ \ge\sqrt{(\sum \sqrt{a})^2}\ge\sqrt{a+b+c}=\sqrt{3}$
dpcm

Làm ngược dấu rồi bạn .Theo BĐT Cauchy-Schwarzt thì ta có:$\sqrt{\left(\sum \sqrt{a} \right)^2}=\sum \sqrt{a} \le \sqrt{3(a+b+c)}=\sqrt{3}$