6 replies to this topic

[nangngoc]

1/ Tìm tất cả các cặp số tự nhiên a; b sao cho a+1 chia hết cho b và b+1 chia hết cho a.
2/ Cho a;b;c>0 thỏa mãn a^2 + b^2 +c^2=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
a/ tìm a,b,c, biết ab+bc+ca= 9
b/ CM: nếu c>a, c>b thì c>a+b

[h.vuong_pdl]

1/ Tìm tất cả các cặp số tự nhiên a; b sao cho a+1 chia hết cho b và b+1 chia hết cho a.
2/ Cho $a;b;c>0$ thỏa mãn $a^2 + b^2 +c^2=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$
a/ tìm $a,b,c$, biết $ab+bc+ca= 9$
b/ CM: nếu $c>a, c>b$ thì $c>a+b$

[h.vuong_pdl]

Mình giải giúp bài 2 xem nha:
Khai triển giả thiết ta có:
$a^2+b^2+c^2 = 2(ab+bc+ca).$
a) Khi $ab+bc+ca = 9 \to a^2+b^2+c^2 = 18 \Rightarrow a+b+c = 6 \textup{( vi a,b,c > 0)}$
Với 2 giả thiết thì không thể giải ra a,b,c cụ thể được
Nhưng ta có thể giới hạn các giá trị a,b,c như sau:
ta có: $18=2a(b+c)+2bc \le 2a(b+c) + (b^2+c^2) = 2a(6-a) + (18-a^2) \\ \Leftrightarrow 3a^2-12a \le 0 \Leftrightarrow 0 < a \le 4$
Tương tự ta đến kết luận: $0<a,b,c \le 4$

b)

[h.vuong_pdl]

híc, câu b) nè:
đặt $c-a=x, c-b=y$ thì theo giả thiết $x,y > 0.$
ta có:
$(c-a)^2+ (c-y)^2 + c^2 = x^2+y^2+(x-y)^2 \\ \Leftrightarrow 3c^2 - 2c(x+y) = (x-y)^2 < (x+y)^2 \\ \Leftrightarrow [c-(x+y)][3c+(x+y)] < 0 \Leftrightarrow c < x+y = 2c - a-b \to a+b < c \to \textup{dpcm!}$

[khacduongpro_165]

[quote name='nangngoc' date='Mar 26 2011, 02:22 AM' post='256032']
1/ Tìm tất cả các cặp số tự nhiên a; b sao cho a+1 chia hết cho b và b+1 chia hết cho a.

Theo bài ra, rõ ràng $(a+1)\vdots b\Rightarrow b \leq (a+1)$ tương tự $a \leq (b+1)$

Như vậy:

TH1) $a=b+1 \Rightarrow (b+2) \vdots b\Rightarrow 2\vdots b\Rightarrow b=(1,2)$

Thử lại $(a,b)=(2,1), (3,2)$ thỏa mãn:

TH2) $b=a+1$ tương tự $ (a,b)=(1,2)$ thỏa mãn.

TH3) $a<b+1\Rightarrow a\leq b, b<a+1 \Rightarrow b \leq a$ Như vậy $a=b$, mà $(a+1)\vdots a \Leftrightarrow 1 \vdots a \Rightarrow a=b=1$

Vậy có 3 cặp số thỏa mãn là $(1,1),(1,2),(2,3)$

Edited by khacduongpro_165, 26-03-2011 - 18:09.

[Giang1994]

'khacduongpro_165' giải thiếu mất rồi
còn cặp (2,3) nữa mà
bài này có trong 45 đề toán khó của nguyễn đức tấn đó

[khacduongpro_165]

'khacduongpro_165' giải thiếu mất rồi
còn cặp (2,3) nữa mà
bài này có trong 45 đề toán khó của nguyễn đức tấn đó

A tính nhầm tý nên thử cặp $(2,3)$ không thỏa mãn! A sửa rồi đó! Em xem lại đi!