10 replies to this topic

[vietfrog]

Cho $x,y,z \geq 0 ;x+y+z =1$

Tìm Min của :

$S = x^2+ y^2 +z^2 + xyz$

Edited by dark templar, 19-05-2011 - 16:36.
Latex

[harrypotter10a1]

Đầu tiên ta chứng minh công thức : $\ a^3+b^3+c^3\ge\dfrac{(a+b+c)^3}{9}$ và $\ a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc$

Áp dụng cái đầu ta có:$\ xyz=\dfrac{x^3+y^3+z^3-(x+y+z)^3+3(x+y+z)(xy+yz+zx)}{3}=\dfrac{x^3+y^3+z^3-1+3(xy+yz+zx)}{3}\ge$ $\dfrac{(x+y+z)^3}{27}+(xy+yz+zx)-\dfrac{1} {3}$
$\ S\ge\ x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx+\dfrac{(x+y+z)^3}{27}-\dfrac{1}{3}\ge\(x+y+z)^2$-$\(xy+yz+zx)+\dfrac{1}{27}-\dfrac{1}{3}\ge\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{27}-\dfrac{(x+y+z)^2}{3}\ge\dfrac{10}{27}$

Khong biet co đúng nữa hok..Nếu sai bạn thông cảm nha!!!

Edited by harrypotter10a1, 26-04-2011 - 21:37.

[vietfrog]

Đầu tiên ta chứng minh công thức : $\ a^3+b^3+c^3\ge\dfrac{(a+b+c)^3}{9}$ và $\ a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc$

Áp dụng cái đầu ta có:$\ xyz=\dfrac{x^3+y^3+z^3-(x+y+z)^3+3(x+y+z)(xy+yz+zx)}{3}=\dfrac{x^3+y^3+z^3-1+3(xy+yz+zx)}{3}\ge\dfrac{(x+y+z)^3}{9}+3(xy+yz+zx)$

Bạn có thể giải đến đích được không.
x,y,z là bậc 2 cơ mà!

[harrypotter10a1]

Bạn có thể giải đến đích được không.
x,y,z là bậc 2 cơ mà!

cua bạn đây

Đầu tiên ta chứng minh công thức : $\ a^3+b^3+c^3\ge\dfrac{(a+b+c)^3}{9}$ và $\ a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc$

Áp dụng cái đầu ta có:$\ xyz=\dfrac{x^3+y^3+z^3-(x+y+z)^3+3(x+y+z)(xy+yz+zx)}{3}=\dfrac{x^3+y^3+z^3-1+3(xy+yz+zx)}{3}\ge$ $\dfrac{(x+y+z)^3}{27}+(xy+yz+zx)-\dfrac{1} {3}$
$\ S\ge\ x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx+\dfrac{(x+y+z)^3}{27}-\dfrac{1}{3}\ge\(x+y+z)^2$-$\(xy+yz+zx)+\dfrac{1}{27}-\dfrac{1}{3}\ge\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{27}-\dfrac{(x+y+z)^2}{3}\ge\dfrac{10}{27}$

Khong biet co đúng nữa hok..Nếu sai bạn thông cảm nha!!!

[vietfrog]

Lời giải của bạn mình soát lại rồi. Chuẩn luôn. Nhưng cho mình hỏi vì sao bạn lại nghĩ tới đẳng thức:
$\ a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc$
Nêu cách nghĩ của bạn cho mình biết nhé!hi
Thanks!

[dark templar]

Cho x,y,z 0 và x+y+z =1

Tìm Min của :

S = x² + y² +z² + xyz

Có thể sử dụng phương pháp p,q,r để chém cho nhanh
Đặt $q=xy+yz+zx;r=xyz \Rightarrow q \in \left[0;\dfrac{1}{3} \right];r \in \left[0;\dfrac{1}{27} \right]$
Sử dụng BDT Schur,ta có:$r \ge \max \left \{0;\dfrac{4q-1}{9} \right \}$
Xét $q\le \dfrac{1}{4} \Rightarrow r \ge 0$
Suy ra $S \ge 1-2q \ge \dfrac{1}{2}$
Xét $\dfrac{1}{4}<q \le \dfrac{1}{3} \Rightarrow r \ge \dfrac{4q-1}{9}$
Suy ra $S\ge 1-2q+\dfrac{4q-1}{9}=\dfrac{8-14q}{9} \ge \dfrac{10}{27}$
So sánh 2 kết quả,ta có:$S_{\min}=\dfrac{10}{27} \Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}$

Edited by dark templar, 29-04-2011 - 18:06.

[harrypotter10a1]

thực ra cái đó mình mới được biết khi tham gia diễn đàn này thôi.. Do một người bạn trong diễn đàn này đưa ra và mình áp dụng vô thui...hihih...ii

[vietfrog]

Có thể sử dụng phương pháp p,q,r để chém cho nhanh
Đặt $q=xy+yz+zx;r=xyz \Rightarrow q \in \left[0;\dfrac{1}{3} \right];r \in \left[0;\dfrac{1}{27} \right]$
Sử dụng BDT Schur,ta có:$r \ge \max \left \{0;\dfrac{4q-1}{9} \right \}$
Xét $q\le \dfrac{1}{4} \Rightarrow r \ge 0$
Suy ra $S \ge 1-2q \ge \dfrac{1}{2}$
Xét $\dfrac{1}{4}<q \le \dfrac{1}{3} \Rightarrow r \ge \dfrac{4q-1}{9}$
Suy ra $S\ge 1-2q+\dfrac{4q-1}{9}=\dfrac{8-14q}{9} \ge \dfrac{10}{27}$
So sánh 2 kết quả,ta có:$S_{\min}=\dfrac{10}{27} \Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}$

Anh ơi!Phương pháp pqr có được dùng để làm bài thi Đại học được không?

[khacduongpro_165]

Anh ơi!Phương pháp pqr có được dùng để làm bài thi Đại học được không?

Có thể áp dụng nếu em chứng minh trước khi áp dụng!
Vì thi ĐH chỉ được dùng những BĐT trong SGK thôi e ah! Ngoài ra thì không được sử dụng, nếu muốn dùng thì phải chứng minh!

[Momochan]

Cho x,y,z 0 và x+y+z =1

Tìm Min của :

S = x² + y² +z² + xyz

Hoặc làm sau cách sau
Ta đặt: $x+y=S,xy=P (S^2 \geq 4P)$
Khi đó: $x+y+z=1 \Rightarrow S+z=1 \Rightarrow S=1-z$
Mà $x+y+z=1;x,y,z\geq 0 \Rightarrow z\leq1$
Mặt khác, $S^2 \geq 4P \Rightarrow P \leq \dfrac{(1-z)^2}{4}$
Vậy
$A=x^2+y^2+z^2+xyz$
$=S^2-2P+z^2+Pz$
$=S^2-P(2-z)+z^2 $
$\Rightarrow A \geq (1-z)^2-\dfrac{(1-z)^2}{4}(2-z)+z^2$
$\Rightarrow 4A \geq z^3+4z^2-3z+2 $
$\Rightarrow 4A \geq z(z-\dfrac{1}{3})^2+\dfrac{14}{3}(z-\dfrac{1}{3})^2+\dfrac{40}{27}\geq \dfrac{40}{27} $
$\Rightarrow A \geq \dfrac{10}{27}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3} $
Vậy $MinA=\dfrac{10}{27}$ tại $\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3} $

Cách nè đỡ fải cm nhìu

Edited by Momochan, 02-05-2011 - 12:57.

[vietfrog]

Cách này của bạn rất hay đấy! Mình thấy nó tự nhiên. Cách đặt ẩn như thế hay thật đấy! THANK!