Chủ đề này có 12 trả lời

[Zaraki]

Hãy giải các bài toán sau:
1. Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu p(n) là tích các chữ số khác 0 của n (chẳng hạn p(23)=6, p(340)=12), với quy ước nếu số chữ số khác 0 của n là 1 thì p(n) chính bằng chữ số khác 0 đó. Đặt S = p(1) + p(2) + ... + p(999). Tìm ước nguyên tố lớn nhất của S.
2. Tìm tổng tất cả các phân số , với a,b là các ước số của 900 và a,b nguyên tố cùng nhau.
3. Trên bảng ghi 2009 phân số có cùng tử số là 100 và các mẫu số là các số tự nhiên từ 1 đến 2009: $\dfrac{{100}}{1};\dfrac{{100}}{2};\dfrac{{100}}{3};...;\dfrac{{100}}{{2009}}$
Mỗi lần ta bỏ đi 2 phân số x,y bất kì trong dãy rồi thay vào cuối của dãy phân số 2xy - x - y + 1. Hỏi phân số nào sẽ còn lại cuối cùng trong dãy?
4. Từ bốn chữ số 2 và các phép toán cộng, trừ, nhân chia và lũy thừa, hãy lập thành số lớn nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 07-05-2011 - 11:22

[cuongquep]

$(22^2)^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cuongquep: 01-05-2011 - 21:01

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 1 :
Giải : Đặt 1 + 2 + 3 + 4 + .... + 9 = N = 45
Ta thấy :
$ P(1) + P(2) + P(3) +.... +P(9) = 1 + 2 + 3 + ... + 9 = N$
$ P(10) + P(11) + P(12) + .... + P(19) = 1 + 1 + 2 + ... + 9 = 1 + N $
$ P(20) + P(21) + P(22) + .... + P(29) = 2 + 2 + 4 + ... + 18 = 2 + 2N $
.......
$ P(90) + P(91) + P(92) + .... + P(99) = 9 + 9 + 18 + ... + 9.9 = 9 + 9N $
$ \Rightarrow P(1 ) + P(2 ) + … + P(99) = N + 1 + 2 + 3 + … + 9 + N ( 1 + 2 + …. + 9 ) = N + N + N^2 = N^2 + 2N $
Ta có :
Các số có 3 chữ số chỉ có một chữ số khác 0 :
$ P(100) + P(200) +P(300) +P(400) + … + P(900) = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 9 = N$
Các số có 3 chữ số chỉ có duy nhất một chữ số 0 :
$ P(101) + P(102) + P(103) + … + P( 109 ) + P( 110 ) + P(120) + P(130) + … + P(190) = 0$
$ P(201) + P(202) + P(203) + … + P(209) + P( 210 ) + P(220) + P(230) + … + P(290) = 0$
…
$ P(901) + P(902) + P(903) + … + P(909) + P( 910 ) + P(920) + P(930) + … + P(990) = 0$
Các số có 3 chữ số còn lại :
* Có chữ số hàng trăm là 1 :
$ P(111) + P(112) + … P(119) = 1 + 2 + … + 9 = N$
$ P(121) + P(122) + … P(129) = 2 + 4 + … + 18 = 2N $
…
$ P(191) + P(192) + … P(199) = 9 + 18 + 9.9 = 9N$
$ P(111) + P(112) + … P(199) = N( 1 + 2 + … + 9 ) = N^2 $
* Có chữ số hàng trăm là 2 :
Dễ dàng tính được là $ 2N^2 $
…
* Có chữ số hàng trăm là 9 :
Dễ dàng tính được là $ 9N^2 $
Vậy $ P(111) + P(112) + … P( 999) = N^2 ( 1 + 2 + … + 9 ) = N^3 $
Vậy tổng cần tìm là :
$ N^2 + 2N + N + N^3 = N^3 + N^2 + 3N = N( N^2 + N + 3 ) = 45( 45^2 + 45 + 3 ) = 93285 = 3^2.5.691$
Vậy ước số nguyên tố lớn nhất là 691
Bài 4 :
Theo mình nghĩ là $ 2^{2^{22}} = 2^{4194304}$

[tuan101293]

Bài 3:gọi các số trong dãy là $a_i$
Xét $ \delta =\prod (2a_i-1)$
qua 1 fep biến đổi bất kỳ chú ý rằng $(2x-1)(2y-1)=2(2xy-y-x+1)-1$
nên $\delta$ là ko đổi
chú ý trong dãy có số 1/2 nên $\delta =0$ và số cuối cùng nhận được là sẽ 1/2

[Zaraki]

Theo em bài 3 giải theo cách THCS như sau:
Trên bảng có 2009 phân số. Mỗi lần thực hiện phép toán, ta bỏ đi 2 phân số rồi thay bởi một phân số khác. Thế thì phải sau 2008 lần tính toán, ta mới tìm ra được phân số cuối cùng còn lại trong dãy. Chà, nếu suy nghĩ như trên thì hơi rắc rối.
Ta thử suy nghĩ theo cách khác. Chẳng hạn, nếu có phân số x thỏa mãn 2xy - x - y + 1 = x với mọi số thực y (1)
thì bài toán trở nên đơn giản hơn.
Ta có (1) 2xy - 2x - y + 1 = 0 (y-1)(2x-1) = 0
Do đó x = $\dfrac{1}{2}$
Chú ý là phân số $\dfrac{1}{2} = \dfrac{{100}}{{200}}$ xuất hiện trong dãy số ban đầu. Tức là phân số này sẽ không bao giờ biến mất trong dãy số đã cho.
Vậy phân số còn lại là $\dfrac{1}{2}$

[Zaraki]

Hãy giải các bài toán sau:
1. Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu p(n) là tích các chữ số khác 0 của n (chẳng hạn p(23)=6, p(340)=12), với quy ước nếu số chữ số khác 0 của n là 1 thì p(n) chính bằng chữ số khác 0 đó. Đặt S = p(1) + p(2) + ... + p(999). Tìm ước nguyên tố lớn nhất của S.
2. Tìm tổng tất cả các phân số , với a,b là các ước số của 900 và a,b nguyên tố cùng nhau.
3. Trên bảng ghi 2009 phân số có cùng tử số là 100 và các mẫu số là các số tự nhiên từ 1 đến 2009: $\dfrac{{100}}{1};\dfrac{{100}}{2};\dfrac{{100}}{3};...;\dfrac{{100}}{{2009}}$
Mỗi lần ta bỏ đi 2 phân số x,y bất kì trong dãy rồi thay vào cuối của dãy phân số 2xy - x - y + 1. Hỏi phân số nào sẽ còn lại cuối cùng trong dãy?
4. Từ bốn chữ số 2 và các phép toán cộng, trừ, nhân chia và lũy thừa, hãy lập thành số lớn nhất.

Xin giải luôn bài 2.
Vì $900 = 2^2 .3^2 .5^2 $ nên mỗi phân số thỏa mãn điều kiện bài toán phải có dạng
$2^m .3^n .5^p $ với $m,n,p \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}$
Suy ra tổng các phân số trên là
$S = \left( {2^{ - 2} + 2^{ - 1} + 2^0 + 2^1 + 2^2 } \right)\left( {3^{ - 2} + 3^{ - 1} + 3^0 + 3^1 + 3^2 } \right)\left( {5^{ - 2} + 5^{ - 1} + 5^0 + 5^1 + 5^2 } \right) = \dfrac{1}{{900}}\left( {1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 } \right)\left( {1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 } \right)\left( {1 + 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 } \right) = \dfrac{1}{{900}}.\dfrac{{2^5 - 1}}{{2 - 1}}.\dfrac{{3^5 - 1}}{{3 - 1}}.\dfrac{{5^5 - 1}}{{5 - 1}} = \dfrac{1}{{900}}.31.121.781 = \dfrac{{2929531}}{{900}}.$
Hãy thử sức thêm với bài nữa
1. Tìm tất cả các số có ba chữ số thỏa mãn điều kiện số đó bằng trung bình cộng của tất cả các số có ba chữ số được thành bằng cách đổi chỗ các chữ số của chính số đó.
2.Tìm các số nguyên dương x,y sao cho $\dfrac{{x^2 y^2 }}{{x^2 + y^2 }}$ là số nguyên tố.

[Zaraki]

Mình xin đưa thêm bài toán nữa!
3. Tổng của 35 số tự nhiên bất kì bằng 1995. Hỏi ước chung lớn nhất của chúng bằng bao nhiêu?
4. Cho n là số nguyên dương biết $S\left( n \right) = n^2 - 2009n + 11[$ với $S\left( n \right)$ là tổng các chữ số của n.

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 1 :
Gọi số đó là $ \overline{abc} $ ( 0 < a,b,c < 9)
Theo đề ra , ta có : $\overline{abc} = \dfrac{\overline{abc} + \overline{acb} + \overline{bac} + \overline{bca} + \overline{cab} + \overline{cba}}{6} $
$ \Rightarrow 100a + 10b + c = \dfrac{222( a + b + c)}{6} = 37( a + b + c ) $
$ \Leftrightarrow 63a - 27b - 36c = 0$
$ \Leftrightarrow 7a = 3b + 4c$
$ \Leftrightarrow 7a - 7b = 4c - 4b \Rightarrow 7( a - b ) = 4( c - b )$
$ \Rightarrow 4( c - b )$ $ \vdots $ $ 7$ mà (4,7) = 1 $ \Rightarrow c - b $ $\vdots $ $ 7$
Mặt khác $ -9 \leq c - b \leq 9 \Rightarrow c - b = -7; 0; 7$
* Trường hợp c - b = -7 $ \Rightarrow b = c + 7 $
Hơn nữa : $ b \leq 9 \Rightarrow c \leq 2 \Rightarrow c = 1; 2$
+ Với c = 1 $ \Rightarrow b = 8 \Rightarrow a = 4 \Rightarrow \overline{abc} = 481$
+ Với c = 2 $ \Rightarrow b = 9 \Rightarrow a = 5 \Rightarrow \overline{abc} = 592$
* Trường hợp $ c - b = 0 \Rightarrow b = c \Rightarrow a = b = c = 1; 2; ...;9$
* Trường hợp $ c - b = 7 \Rightarrow c = b + 7$
Hơn nữa : $ c \leq 9 \Rightarrow b \leq 2 \Rightarrow b = 1; 2$
+ Với b = 1 $ \Rightarrow c = 8 \Rightarrow a = 5 \Rightarrow \overline{abc} = 518$
+ Với b = 2 $ \Rightarrow c = 9 \Rightarrow a = 6 \Rightarrow \overline{abc} = 629$
Vậy có 13 số thỏa mãn đề bài.

[hoangdang]

Xin giải luôn bài 2.
Vì $900 = 2^2 .3^2 .5^2 $ nên mỗi phân số thỏa mãn điều kiện bài toán phải có dạng
$2^m .3^n .5^p $ với $m,n,p \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}$
Suy ra tổng các phân số trên là
$S = \left( {2^{ - 2} + 2^{ - 1} + 2^0 + 2^1 + 2^2 } \right)\left( {3^{ - 2} + 3^{ - 1} + 3^0 + 3^1 + 3^2 } \right)\left( {5^{ - 2} + 5^{ - 1} + 5^0 + 5^1 + 5^2 } \right) = \dfrac{1}{{900}}\left( {1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 } \right)\left( {1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 } \right)\left( {1 + 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 } \right) = \dfrac{1}{{900}}.\dfrac{{2^5 - 1}}{{2 - 1}}.\dfrac{{3^5 - 1}}{{3 - 1}}.\dfrac{{5^5 - 1}}{{5 - 1}} = \dfrac{1}{{900}}.31.121.781 = \dfrac{{2929531}}{{900}}.$
Hãy thử sức thêm với bài nữa
1. Tìm tất cả các số có ba chữ số thỏa mãn điều kiện số đó bằng trung bình cộng của tất cả các số có ba chữ số được thành bằng cách đổi chỗ các chữ số của chính số đó.
2.Tìm các số nguyên dương x,y sao cho $\dfrac{{x^2 y^2 }}{{x^2 + y^2 }}$ là số nguyên tố.

bai 2:
goi so nguyen to do la p.
tu gt $ \Rightarrow y^2 .x^2 = p.x^2 + p.y^2 $

$\begin{gathered} \Leftrightarrow x^2 .y^2 - p.x^2 - p.y^2 + p^2 = p^2 \hfill \\ \Leftrightarrow (x^2 - p)(y^2 - p) = p^2 \hfill \\ \end{gathered} $
do p la so nguyen to nen $p^2$ chi co cac uoc $-1; 1; p; -p; p^2; -p^2$
cac ban tu xet cac truong hợp x=y, x>y; x<y.
ket qua la p=2 khi x=y=2.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 07-05-2011 - 11:25

[supermember]

Hãy giải các bài toán sau:
1. Với mỗi số nguyên dương $n$, kí hiệu $p(n)$ là tích các chữ số khác 0 của n (chẳng hạn $p(23)=6, p(340)=12$), với quy ước nếu số chữ số khác $0$ của $n$ là 1 thì $p(n)$ chính bằng chữ số khác 0 đó. Đặt $S = p(1) + p(2) + ... + p(999)$. Tìm ước nguyên tố lớn nhất của S.

Bài toán này có 1 cách giải ngắn gọn thế này :

Giả sử $ p(0) = 1 $ ; ta sẽ xét đa thức :

$ \mathbb{P} (x) = (1 + x + 2x^2 + ....+ 9x^9)(1 + x + 2x^2 + ....+ 9x^9)(1 + x + 2x^2 + ....+ 9x^9) = (1 + x + 2x^2 + ......+ 9x^9)^3$


$ \mathbb{P} (x) = a_0 + a_1 x + ... + a_{27} x^{27} = \sum_{0 \le j ; k ; l \le 9} jkl x^{j +k +l }$

Trong đó quy ước là nếu trong tích $jkl$ có số bằng $0$ thì ta thay số đó bởi $1$ .

Rõ ràng : $ p(0) + p(1) +.. .+ p(999) = \sum_{0 \le j ; k ; l \le 9} jkl $

(Trong đó quy ước là nếu trong tích $jkl$ có số bằng $0$ thì ta thay số đó bởi $1$ )

$= \mathbb{P} (1) = (1 + 1 + 2 + ...+9)^3 = 46^3$

$ \implies p(1) +.. .+ p(999) = 46^3 -1 $

$ = 3^3 . 5 . 7 . 103$ ; trong đó $ 3 ; 5 ; 7 ; 103$ là những số nguyên tố.

Từ đây dễ suy ra ước nguyên tố lớn nhất của tổng nói trên là $103$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 07-05-2011 - 20:44

[Zaraki]

Mình cũng xin có lời giải khác cho bài 1.
Đặt $p\left( 0 \right) = 1$ thì với mọi số tự nhiên n có m chữ số,
n = $\overline {a_1 a_2 ...a_m } $
Ta có $p\left( n \right) = p\left( {a_1 } \right)p\left( {a_2 } \right)...p\left( {a_m } \right)$
Bởi vậy $\begin{array}{l} S = p\left( 1 \right) + p\left( 2 \right) + ... + p\left( {999} \right) = \left[ {p\left( 1 \right) + p\left( 2 \right) + ... + p\left( 9 \right)} \right] + \left[ {p\left( {10} \right) + p\left( {11} \right) + ... + p\left( {99} \right)} \right] + \left[ {p\left( {100} \right) + p\left( {101} \right) + ... + p\left( {999} \right)} \right] = \left[ {p\left( 1 \right) + p\left( 2 \right) + ... + p\left( 9 \right)} \right] + \left[ {p\left( 1 \right) + p\left( 2 \right) + ... + p\left( 9 \right)} \right]\left[ {p\left( 0 \right) + p\left( 1 \right) + ... + p\left( 9 \right)} \right] + \left[ {p\left( 1 \right) + p\left( 2 \right) + ... + p\left( 9 \right)} \right]\left[ {p\left( 0 \right) + p\left( 1 \right) + ... + p\left( 9 \right)} \right]^2 \\ = \left( {1 + 2 + ... + 9} \right)\left[ {1 + \left( {1 + 1 + 2 + ... + 9} \right) + \left( {1 + 1 + 2 + ... + 9} \right)^2 } \right] = 45\left( {1 + 46 + 46^2 } \right) = 45.2163 = 3^3 .5.7.103 \\ \end{array}$
Vậy ước số nguyên tố lớn nhất của S là 103.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 08-05-2011 - 14:05

[Zaraki]

Mình xin đưa thêm bài toán nữa!
3. Tổng của 35 số tự nhiên bất kì bằng 1995. Hỏi ước chung lớn nhất của chúng bằng bao nhiêu?
4. Cho n là số nguyên dương biết $S\left( n \right) = n^2 - 2009n + 11[$ với $S\left( n \right)$ là tổng các chữ số của n.

Giải bài 3:
Gọi 35 số tự nhiên cần tìm là $a_1 ,a_2 ,...,a_{35} $. Khi đó, ta có
$a_1 + a_2 + ... + a_{35} = 1995$ (1)
Gọi d là ước chung lớn nhất của 35 số tự nhiên, với các số $k_1 ,k_2 ,...,k_{35} \in N^ * $ thì
$a_1 = k_1 d;a_2 = k_2 d;a_3 = k_3 d;...;a_{35} = k_{35} d$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra
$d\left( {k_1 + k_2 + ... + k_{35} } \right) = 1995$
mà $k_1 ,k_2 ,...,k_{35} \in N^ * $ nên $k_1 + k_2 + ... + k_{35} \ge 35$
$ \Rightarrow d \ge 57$
do d lớn nhất (vì d là ước chung lớn nhất) nên d = 57.
Vậy ước chung lớn nhất của 35 số tự nhiên có tổng bằng 1995 là 57.

[Zaraki]

(Hiếu A thấy thế nào!)
Mình xin thêm bài toán nữa!
1. Tìm sáu chữ số tận cùng của $5^{2009} $