Chủ đề này có 26 trả lời

[KemIuTra]

Bất đẳng thức đầu tiên:
Cho x,y,z dương và$ x+y+z =\dfrac{3}{4}.$CMR: $ \sqrt[3]{x+3y} +\sqrt[3]{y +3z} +\sqrt[3]{z+3x}\leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KemIuTra: 06-05-2011 - 21:58

[NGOCTIEN_A1_DQH]

Bất đẳng thức đầu tiên:
Cho x,y,z dương và$ x+y+z =\dfrac{3}{4}.$CMR: $ \sqrt[3]{x+3y} +\sqrt[3]{y +3z} +\sqrt[3]{z+3x}\leq 3$

mình chém luôn nè
áp dụng BDT holder ta có:
$ VT^3=(1.1.\sqrt[3]{x+3y} + 1.1.\sqrt[3]{y +3z} +1.1.\sqrt[3]{z+3x})^3 \leq (1^3+1^3+1^3)(1^3+1^3+1^3)(4x+4y+4z)=27 \Rightarrow (DPCM) $
xong!

[KemIuTra]

Cho mình hỏi cái. Bất đẳng thức holder trong thi Đại Học có cho sử dụng không. Và còn cách nào để giải bài này nữa không? Mình mới học BDT nên chưa biết nhiều lắm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KemIuTra: 05-05-2011 - 06:24

[NGOCTIEN_A1_DQH]

Cho mình hỏi cái. Bất đẳng thức holder trong thi Đại Học có cho sử dụng không. Và còn cách nào để giải bài này nữa không? Mình mới học BDT nên chưa biết nhiều lắm.

theo mình thì bất đẳng thức này được sử dụng nhưng với điều kiện là bạn phải cm nó trước khi dùng dưới dạng một bổ đề,cách cm có thể xem trong sáng tạo BDT của Phạm Kim Hùng ấy. còn về bài này thì chắc là vẫn còn cách khác nhưng bây giờ mình chưa nghĩ ra, thông cảm nhé

[KemIuTra]

hì. Thank bạn. mình nghĩ ra cách khác rồi. Áp dụng BDT AM-GM cho 3 số 1, 1, x+3y.

[KemIuTra]

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn ab + bc + ca = abc. CMR
$\dfrac{a^{4}+b^{4}}{ab.(a^{3}+b^{3})}+\dfrac{b^{4}+a^{4}}{bc.(b^{3}+c^{3})}+\dfrac{c^{4}+a^{4}}{ca.(c^{3}+a^{3})}\leq1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KemIuTra: 06-05-2011 - 21:56

[KemIuTra]

Thêm bài BĐT nữa nè: Cho hai số x,y thỏa mãn: 0<x<y<4. $ CMR: {ln} \dfrac {x.(4-y)} {y.(4-x)} < x-y $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KemIuTra: 06-05-2011 - 23:12

[truclamyentu]

mình chém câu này nha:::


$VT = \sum {\dfrac{{{a^4} + {b^4}}}{{ab({a^3} + {b^3})}}} = \sum {\dfrac{{{{\left[ {\dfrac{1}{a}} \right]}^4} + {{\left[ {\dfrac{1}{b}} \right]}^4}}}{{{{\left[ {\dfrac{1}{a}} \right]}^3} + {{\left[ {\dfrac{1}{b}} \right]}^3}}}}\\\\\sum {\dfrac{{{{\left[ {\dfrac{1}{a}} \right]}^4} + {{\left[ {\dfrac{1}{b}} \right]}^4}}}{{{{\left[ {\dfrac{1}{a}} \right]}^3} + {{\left[ {\dfrac{1}{b}} \right]}^3}}}} \ge \dfrac{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}}{2} \Leftrightarrow {\left[ {\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}} \right]^2}\left[ {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{ab}}} \right] \ge \ 0 : TRUE\\\\\Rightarrow VT \ge \dfrac{1}{2}\sum {(\dfrac{1}{a}} + \dfrac{1}{b}) = \dfrac{{ab + bc + ca}}{{abc}} = 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 15-05-2011 - 23:30

[KemIuTra]

thêm bài nữa luôn:
Cho các số thực x,y thay đổi và thỏa mãn $ (x+y)^{3} +4xy \ge 2$. Tìm Min của:
$ A = 3.(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$

[KemIuTra]

hix. bài của ban truclamyentu khó hiểu quá. (sr mình ngu BDT lắm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KemIuTra: 07-05-2011 - 00:07

[hoangduc]

theo mình thì bất đẳng thức này được sử dụng nhưng với điều kiện là bạn phải cm nó trước khi dùng dưới dạng một bổ đề,cách cm có thể xem trong sáng tạo BDT của Phạm Kim Hùng ấy. còn về bài này thì chắc là vẫn còn cách khác nhưng bây giờ mình chưa nghĩ ra, thông cảm nhé

Mình thấy các BĐT cm bằng holder đc thì cũng cm bằng AM-GM được
$ \sqrt[3]{x+3y} \leq \dfrac{1+1+x+3y}{3} $
Làm thêm 2 cái tương tự rồi cộng lại ta được $ \sum\sqrt[3]{x+3y} \leq 2 + \dfrac{4(x+y+z)}{3} = 3 $ (đpcm)

thêm bài nữa luôn:
Cho các số thực x,y thay đổi và thỏa mãn $ (x+y)^{3} +4xy \ge 2$. Tìm Min của:
$ A = 3.(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$

Đặt $ t = \sqrt{2(x^2+y^2)} $ khi đó $ t \geq x+y$ và $ t^2 \geq 4xy $
Do đó: $ t^3 + t^2 \geq (x+y)^3 + 4xy \geq 2 \Rightarrow (t-1)(t^2+2t+2) \geq 0 \Rightarrow t \geq 1 \Rightarrow x^2 + y^2 \geq \dfrac{1}{2} $

Ta có:$ A \geq \dfrac{9}{4}(x^2+y^2)^2 - 2(x^2+y^2) + 1 $
Mặt khác do hàm $ f(x) = \dfrac{9}{4}x^2 - 2x + 1$ đồng biến trên $ [\dfrac{1}{2};+\infty) $ nên $A \geq \dfrac{9}{4}.(\dfrac{1}{2})^2 - 2.\dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{9}{16} $
Đẳng thức xảy ra khi $ x=y=\dfrac{1}{2} $

[khacduongpro_165]

Thêm bài BĐT nữa nè: Cho hai số x,y thỏa mãn: 0<x<y<4. $ CMR: {ln} \dfrac {x.(4-y)} {y.(4-x)} < x-y $

Dùng biến đổi cơ bản về logarit ta chuyển BĐT về dạng:

$lnx-ln(4-x)-x<lny-ln(4-y)-y$
Điều này tương đương với chứng minh hàm:

$f(x)=lnx-ln(4-x)-x$ đồng biến!

$f'(x)>0$ mọi $x, 0<x<4$ vì thế ta có ĐPCM!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khacduongpro_165: 07-05-2011 - 13:40

[KemIuTra]

tiếp nữa nha: Cho x,y,z>0. CMR:
$\dfrac{2\sqrt{x}}{x^{3}+y^{2}}+\dfrac{2\sqrt{y}}{y^{3}+z^{2}}+\dfrac{2\sqrt{z}}{z^{3}+x^{2}}\leq \dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KemIuTra: 15-05-2011 - 23:09

[truclamyentu]

tiếp nữa nha: Cho x,y,z>0. CMR:
$\dfrac{2\sqrt{x}}{x^{3}+y^{2}}+\dfrac{2\sqrt{y}}{y^{3}+z^{2}}+\dfrac{2\sqrt{z}}{z^{3}+x^{2}}\leq \dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}$

$\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = \dfrac{x}{{{x^3}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} \ge \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt {{x^3}.{y^2}} }} \ge \dfrac{{4\sqrt x }}{{{x^3} + {y^2}}}$

thực hiện tương tự suy ra dpcm

[KemIuTra]

mình chém câu này nha:::
$VT = \sum {\dfrac{{{a^4} + {b^4}}}{{ab({a^3} + {b^3})}}} = \sum {\dfrac{{{{\left[ {\dfrac{1}{a}} \right]}^4} + {{\left[ {\dfrac{1}{b}} \right]}^4}}}{{{{\left[ {\dfrac{1}{a}} \right]}^3} + {{\left[ {\dfrac{1}{b}} \right]}^3}}}}\\\\\sum {\dfrac{{{{\left[ {\dfrac{1}{a}} \right]}^4} + {{\left[ {\dfrac{1}{b}} \right]}^4}}}{{{{\left[ {\dfrac{1}{a}} \right]}^3} + {{\left[ {\dfrac{1}{b}} \right]}^3}}}} \ge \dfrac{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}}{2} \Leftrightarrow {\left[ {\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}} \right]^2}\left[ {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{ab}}} \right]:TRUE\\\\\Rightarrow VT \ge \dfrac{1}{2}\sum {(\dfrac{1}{a}} + \dfrac{1}{b}) = \dfrac{{ab + bc + ca}}{{abc}} = 1$

Bạn ơi bạn xem lại dấu của BĐT đi, BĐT của mình là dấu $\leq$ mà
chép nhầm đề rồi bạn à, dấu lớn hơn hoặc bằng mới đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 15-05-2011 - 23:31

[KemIuTra]

Tiếp lun: Cho x,y,z >0. CMR
$\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}+\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{z+x}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+y}}>3$

[KemIuTra]

thêm câu nữa cho x+y+z=1. Tìm Min:
$ \dfrac{x^{3}}{x^{2}+yz}+\dfrac{y^{3}}{y^{2}+zx}+\dfrac{z^{3}}{z^{2}+xy}$

[khacduongpro_165]

thêm câu nữa cho x+y+z=1. Tìm Min:
$ \dfrac{x^{3}}{x^{2}+yz}+\dfrac{y^{3}}{y^{2}+zx}+\dfrac{z^{3}}{z^{2}+xy}$

$=x+y+z-xyz(\dfrac{1}{x^2+yz}+\dfrac{1}{y^2+zx}+\dfrac{1}{z^2+xy})\geq 1-\dfrac{1}{2}(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})\geq 1-\dfrac{1}{2}(x+y+z)=\dfrac{1}{2}$

(AM-GM)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{3} $

Chú ý: $x^2+yz\geq 2x\sqrt{yz}\Rightarrow \dfrac{-xyz}{x^2+yz}\geq \dfrac{1}{2}\sqrt{yz}$
Tương tự: $\Rightarrow -xyz(\dfrac{1}{x^2+yz}+\dfrac{1}{y^2+zx}+\dfrac{1}{z^2+xy})\geq \dfrac{1}{2}(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})$

Mà: $x+y+z\geq(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})$ ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khacduongpro_165: 16-05-2011 - 08:32

[khacduongpro_165]

Khó hiểu quá bạn ơi

Anh làm chi tiết rồi đó, em xem lại đi nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khacduongpro_165: 16-05-2011 - 08:48

[Tranhang]

hì. Thank bạn. mình nghĩ ra cách khác rồi. Áp dụng BDT AM-GM cho 3 số 1, 1, x+3y.

hehe mình cũng nghĩ dùng AM-GM là hay nhất. Mình ko tốt về phần này lắm