Chủ đề này có 26 trả lời

[dark templar]

$=x+y+z-xyz(\dfrac{1}{x^2+yz}+\dfrac{1}{y^2+zx}+\dfrac{1}{z^2+xy})\geq 1-\dfrac{1}{2}(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})\geq 1-\dfrac{1}{2}(x+y+z)=\dfrac{1}{2}$

(AM-GM)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{3} $

Chú ý: $x^2+yz\geq 2x\sqrt{yz}\Rightarrow \dfrac{-xyz}{x^2+yz}\geq \dfrac{1}{2}\sqrt{yz}$
Tương tự: $\Rightarrow -xyz(\dfrac{1}{x^2+yz}+\dfrac{1}{y^2+zx}+\dfrac{1}{z^2+xy})\geq \dfrac{1}{2}(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})$

Mà: $x+y+z\geq(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})$ ...

Đề bài hình như đâu cho $x,y,z>0$ đâu nhỉ

Tiếp lun: Cho x,y,z >0. CMR
$\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}+\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{z+x}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+y}}>3$

Do tính thuần nhất của BĐT,chuẩn hóa $x+y+z=1$.BĐT tương đương với:
$\sum \left(\dfrac{x}{1-x}+\sqrt{\dfrac{x}{1-x}} \right)>3$
Xét hàm số $f:(0;+ \infty) \to (0;1):f(x)=\dfrac{x}{1-x}+\sqrt{\dfrac{x}{1-x}}$ là hàm số lồi nên theo BĐT Jensen,ta có:
$VT=f(x)+f(y)+f(z) \ge 3f\left(\dfrac{x+y+z}{3} \right)$
$=3f\left(\dfrac{1}{3} \right)=3\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)>3$
Vậy ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 16-05-2011 - 13:15

[KemIuTra]

Mấy bác có cách giải nào dễ hiểu hơn ko. Em ngu BĐT lắm ạ.
và giúp em thêm bài này:

Tìm Min và Max của hàm số $ f(x) = \dfrac{sinx+2cos\dfrac{x}{2}}{cosx+2sin\dfrac{x}{2}}$ trên đoạn $ [0;\dfrac{\pi}{2}]$

[Tranhang]

mình chém câu này nha:::
$VT = \sum {\dfrac{{{a^4} + {b^4}}}{{ab({a^3} + {b^3})}}} = \sum {\dfrac{{{{\left[ {\dfrac{1}{a}} \right]}^4} + {{\left[ {\dfrac{1}{b}} \right]}^4}}}{{{{\left[ {\dfrac{1}{a}} \right]}^3} + {{\left[ {\dfrac{1}{b}} \right]}^3}}}}\\\\\sum {\dfrac{{{{\left[ {\dfrac{1}{a}} \right]}^4} + {{\left[ {\dfrac{1}{b}} \right]}^4}}}{{{{\left[ {\dfrac{1}{a}} \right]}^3} + {{\left[ {\dfrac{1}{b}} \right]}^3}}}} \ge \dfrac{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}}{2} \Leftrightarrow {\left[ {\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}} \right]^2}\left[ {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{ab}}} \right] \ge \ 0 : TRUE\\\\\Rightarrow VT \ge \dfrac{1}{2}\sum {(\dfrac{1}{a}} + \dfrac{1}{b}) = \dfrac{{ab + bc + ca}}{{abc}} = 1$

Minh khong hieu cach giai nay lam

[KemIuTra]

ai giúp em giải bài max min trên cái

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Pó tay đánh gần xong rùi lỡ tay nhấn nút close ~~:
Tớ làm như sau :
Tình đạo hàm ra được vầy :

$ f^{'}(x)=\dfrac{ sin \dfrac {3x}{2}-1}{(Cos x + 2 sin \dfrac{x}{2})^2}$

$ \rightarrow f^' (x) \leq 0$
Vậy $f$ nghịch biến
$ \rightarrow Max_{f(x)}=f(0) ; Min_{f(x)}=f(\dfrac{\pi}{2})$
Chả biết co đúng không nữa , mọi người kiểm tra giùm !!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 26-05-2011 - 11:40

[BMinh_93]

Tiếp lun: Cho x,y,z >0. CMR
$\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}+\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{z+x}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+y}}>3$

CM
$ \dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y} \geq \dfrac{3}{2} $ (BĐT nebsit)
CM:$ \sqrt{\dfrac{x}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{z+x}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+y}} > 2$ (1)
Ta có$ \sqrt{\dfrac{x}{y+z}}= \dfrac{x}{\sqrt{x (y+z)}} > \dfrac{x}{ \dfrac{x+y+z}{2} } = \dfrac{2x}{ x+y+z } $
CMTT cho$ \sqrt{\dfrac{y}{z+x}}$ và $ \sqrt{\dfrac{z}{x+y}}$ rồi cộng ba cái lại được (1)

[alex_hoang]

Mình đưa 1 bài nữa nè
CMR với mọi số thực không âm a,b,c thỏa mãn không có 2 số nào trong chúng đòng thời bằng không thì :
$\dfrac{a}{a^2+bc} + \dfrac{b}{b^2 + ca} + \dfrac{c}{c^2 + ba} \le \dfrac{(a + b + c)^2}{4(ab + bc + ca)^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 28-05-2011 - 19:54