Chủ đề này có 16 trả lời

[Zaraki]

Đây sẽ là chủ đề thảo luận, hỏi về các BĐT của THPT, mở đầu xin giới thiệu một số bài toán
1. Cho a,b và c là các số thực dương sao cho abc=1. CMR:
$\dfrac{{ab}}{{a^5 + b^5 + ab}} + \dfrac{{bc}}{{b^5 + c^5 + bc}} + \dfrac{{ca}}{{c^5 + a^5 + ca}} \le 1$
2. Cho các số thực dương a,b,c. Cmr:
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge \dfrac{{c + a}}{{c + b}} + \dfrac{{a + b}}{{a + c}} + \dfrac{{b + c}}{{b + a}}$
3. Cho a,b,c,d >0 sao cho $a \le b \le c \le d$ và abcd=1. CMR:
$\left( {a + 1} \right)\left( {d + 1} \right) \ge 3 + \dfrac{3}{{4d^3 }}$

[harrypotter10a1]

Đây sẽ là chủ đề thảo luận, hỏi về các BĐT của THPT, mở đầu xin giới thiệu một số bài toán
1. Cho a,b và c là các số thực dương sao cho abc=1. CMR:
$\dfrac{{ab}}{{a^5 + b^5 + ab}} + \dfrac{{bc}}{{b^5 + c^5 + bc}} + \dfrac{{ca}}{{c^5 + a^5 + ca}} \le 1$
2. Cho các số thực dương a,b,c. Cmr:
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge \dfrac{{c + a}}{{c + b}} + \dfrac{{a + b}}{{a + c}} + \dfrac{{b + c}}{{b + a}}$
3. Cho a,b,c,d >0 sao cho $a \le b \le c \le d$ và abcd=1. CMR:
$\left( {a + 1} \right)\left( {d + 1} \right) \ge 3 + \dfrac{3}{{4d^3 }}$

mình chém bài 1:
Áp dụng $\ x^5+y^5\ge\xy(x^3+y^3)$
VT$\le\dfrac{1}{a^3+b^3+1}+\dfrac{1}{b^3+c^3+1}+\dfrac{1}{c^3+a^3+1}$
Mà:$\ x^3+y^3\ge\xy(x+y)$
VT$\le\dfrac{1}{ab(a+b)+1}+\dfrac{1}{bc(b+c)+1}+\dfrac{1}{ca(c+a)+1}$=
$\dfrac{1}{ab(a+b)+abc}+\dfrac{1}{bc(b+c)+abc}+\dfrac{1}{ca(c+a)+abc}$

Đến đây thì OK rùi nhik



Bài 2: Trừ mỗi vế cho ba rồi chuyển vế biến đổi tương đương chắc ra đó!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi harrypotter10a1: 05-05-2011 - 19:33

[Lê Xuân Trường Giang]

mình chém bài 1:
Áp dụng $\ x^5+y^5\ge\xy(x^3+y^3)$
VT$\le\dfrac{1}{a^3+b^3+1}+\dfrac{1}{b^3+c^3+1}+\dfrac{1}{c^3+a^3+1}$
Mà:$\ x^3+y^3\ge\xy(x+y)$
VT$\le\dfrac{1}{ab(a+b)+1}+\dfrac{1}{bc(b+c)+1}+\dfrac{1}{ca(c+a)+1}$=
$\dfrac{1}{ab(a+b)+abc}+\dfrac{1}{bc(b+c)+abc}+\dfrac{1}{ca(c+a)+abc}$

Đến đây thì OK rùi nhik
Bài 2: Trừ mỗi vế cho ba rồi chuyển vế biến đổi tương đương chắc ra đó!!

hình như pạn nhầm chỗ
$\begin{array}{l}{x^5} + {y^5} \ge {x^3} + {y^3}\left( {sai} \right)\\{x^5} + {y^5} \ge {x^2}{y^2}\left( {x + y} \right)\end{array}$
mới đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lê Xuân Trường Giang: 05-05-2011 - 19:43

[anhtuanDQH]

2. Cho các số thực dương a,b,c. Cmr:
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge \dfrac{{c + a}}{{c + b}} + \dfrac{{a + b}}{{a + c}} + \dfrac{{b + c}}{{b + a}}$
Ta có :
$\sum \dfrac{a}{b} -3= \dfrac{(a-b)^2}{ab} + \dfrac{(a-c)(b-c)}{ac} $
BDT được viết lại thành :
$\ [ \dfrac{1}{ab} - \dfrac{1}{(a+c)(b+c)} ](a-b)^2+[ \dfrac{1}{ac} - \dfrac{1}{(a+c)(b+a)} ](a-c)(b-c) \geq 0 $
Chỉ cần giả sử $\ c=min {a,b,c} $ là ta có ngay đpcm
Đã xong . . .
P/s : Bài toán tổng quát như sau :
Cho $\ a,b,c,k $ là các số thực dương . CMR:
$\sum \dfrac{a}{b} \geq \sum \dfrac{a+kb}{a+kc} $

[Zaraki]

Thêm một số bài nữa
1. Cho a,b,c là các cố thực dương, CMR:
$\dfrac{a}{{\left( {b + c} \right)^2 }} + \dfrac{b}{{\left( {c + a} \right)^2 }} + \dfrac{c}{{\left( {a + b} \right)^2 }} \ge \dfrac{9}{{4\left( {a + b + c} \right)}}$
2. Cho a,b,c > 0 và a+b+c = 1. CMR: $7\left( {ab + bc + ca} \right) \le 2 + 9abc$
3. Cho $a,b,c \in R _ + $. CMR:
$\sqrt {a\left( {b + 1} \right)} + \sqrt {b\left( {c + 1} \right)} + \sqrt {c\left( {a + 1} \right)} \le \dfrac{3}{2}\sqrt {\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)} $

[h.vuong_pdl]

Với dạng BDT 2: mình có lời giải khá đơn giản như sau:

Không mqaats tính tổng quát, giả sử $a \ge b \ge c \to a \le \dfrac{1}{3}$

ta cần chứng minh: $bc(7-9a) + 7a(1-a) \le 2$
hiển nhiên: $bc \le \dfrac{(b+c)^2}{4} = \dfrac{(1-a)^2}{4}$ và $7-9a > 0$
nên $VT \le (7-9a)\dfrac{(1-a)^2}{4} + 7a(1-a) \le 2$

đến đây có thể quy về xét hàm số $f(a)$ với $a \in (0; \dfrac{1}{3}]$ hoặc phân tichs tương đương thành nhân tử cũng ok!

p/s: có thể dùng các cách khác như BDT Schur, xét khoảng đánh giá ,.....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi h.vuong_pdl: 06-05-2011 - 15:33

[NGOCTIEN_A1_DQH]

1. Cho a,b,c là các cố thực dương, CMR:
$\dfrac{a}{{\left( {b + c} \right)^2 }} + \dfrac{b}{{\left( {c + a} \right)^2 }} + \dfrac{c}{{\left( {a + b} \right)^2 }} \ge \dfrac{9}{{4\left( {a + b + c} \right)}}$
chém bài này nhé
đặt a+b=x, b+c=y, c+a=z (x,y,z>0)
$ BDT \Leftrightarrow \dfrac{(x+z)^2-y^2}{y^2}+\dfrac{(x+y)^2-z^2}{z^2} + \dfrac{(y+z)^2-x^2}{x^2} \geq 9 $.
$ \Leftrightarrow \dfrac{(z+x)^2}{y^2}+\dfrac{(x+y)^2}{z^2}+\dfrac{(y+z)^2}{x^2} \geq 12 $
đây là điều hiển nhiên đúng theo BDT AM-GM
xong!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 06-05-2011 - 19:55

[NguyThang khtn]

góp vui một bài!
CMR

$\dfrac{\sqrt{ab+4bc+4ca}}{a+b} +\dfrac{\sqrt{bc+4ac+ab}}{b+c} +\dfrac{\sqrt{ca+4ab+4bc}}{c+a} \geq \dfrac{9}{2}$

[truclamyentu]

mình làm câu 3 của bạn Phạm Quang toàn::

$\\\sqrt {a(b + 1)} + \sqrt {b(c + 1)} + \sqrt {c(a + 1)} \le \dfrac{3}{2}\sqrt {(a + 1)(b + 1)(c + 1)} \\\\\Leftrightarrow \sqrt {\dfrac{a}{{a + 1}}.\dfrac{1}{{c + 1}}} + \sqrt {\dfrac{b}{{b + 1}}.\dfrac{1}{{a + 1}}} + \sqrt {\dfrac{c}{{c + 1}}.\dfrac{1}{{b + 1}}} \le \dfrac{3}{2}\\\\VT \le \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{a}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{c + 1}}} \right] + \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{b}{{b + 1}} + \dfrac{1}{{a + 1}}} \right] + \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{c}{{c + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}}} \right] = \dfrac{3}{2} \\$

dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 06-05-2011 - 20:52

[truclamyentu]

nhờ các bạn giải cho mình bài này:

cm bất đẳng thức sau với mọi a,b,c>0

$\left[ {a + 1- \dfrac{1}{b}} \right]\left[ {b + 1 -\dfrac{1}{c}}\right] +\left[ {b + 1 -\dfrac{1}{c}}\right]\left[{c + 1 -\dfrac{1}{a}} \right] + \left[ {c + 1 - \dfrac{1}{a}} \right]\left[ {a + 1 - \dfrac{1}{b}} \right] \ge3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 06-05-2011 - 21:07

[Zaraki]

góp vui một bài!
CMR

$\dfrac{\sqrt{ab+4bc+4ca}}{a+b} +\dfrac{\sqrt{bc+4ac+ab}}{b+c} +\dfrac{\sqrt{ca+4ab+4bc}}{c+a} \geq \dfrac{9}{2}$

Xin hỏi a,b,c là các số như thế nào bạn?

[Zaraki]

Problem 1: Cho các số thực dương $a,b,c,d$ sao cho $a + b + c + d = abc + abd + acd + bcd$.CMR:
$\left ( a + b \right )\left ( c + d \right )+\left ( a + d \right )\left ( b+c \right )\geq 4\sqrt{\left ( 1 + ac \right )\left ( 1 + bd \right )}$
Problem 2: Cho $a\geq b\geq c> 0$.CMR:
$\dfrac{a^{2}-b^{2}}{c}+\dfrac{c^{2}-b^{2}}{a}+\dfrac{a^{2}-c^{2}}{b}\geq 3a-4b+c$

[truclamyentu]

Problem 1: Cho các số thực dương $a,b,c,d$ sao cho $a + b + c + d = abc + abd + acd + bcd$.CMR:
$\left ( a + b \right )\left ( c + d \right )+\left ( a + d \right )\left ( b+c \right )\geq 4\sqrt{\left ( 1 + ac \right )\left ( 1 + bd \right )}$
Problem 2: Cho $a\geq b\geq c> 0$.CMR:
$\dfrac{a^{2}-b^{2}}{c}+\dfrac{c^{2}-b^{2}}{a}+\dfrac{a^{2}-c^{2}}{b}\geq 3a-4b+c$

PROBLEM2/

$(a + c) + (b + d) = (abc + acd) + (abd + bcd)\\\\ \Leftrightarrow (a + c) + (b + d) = ac(b + d) + bd(a + c) \le \dfrac{1}{4}{(a + c)^2}(b + d) + \dfrac{1}{4}{(b + d)^2}(a + c)\\\\ \Rightarrow (a + c) + (b + d) \le \dfrac{1}{4}{(a + c)^2}(b + d) + \dfrac{1}{4}{(b + d)^2}(a + c)\\\\ \Leftrightarrow (a + c)(b + d) \ge 4\\\\ \Leftrightarrow (a + b)(c + d) + (a + d)(b + c) \ge 2(ac + 1 + bd + 1)\\\\2(ac + 1 + bd + 1) \ge 4\sqrt {(ac + 1)(bd + 1)} \\\\\Rightarrow (a + b)(c + d) + (a + d)(b + c) \ge 4\sqrt {(ac + 1)(bd + 1)} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 18-05-2011 - 21:23

[Zaraki]

góp vui một bài!
CMR

$\dfrac{\sqrt{ab+4bc+4ca}}{a+b} +\dfrac{\sqrt{bc+4ac+ab}}{b+c} +\dfrac{\sqrt{ca+4ab+4bc}}{c+a} \geq \dfrac{9}{2}$

Bài toán này là từ cuốn của Xuezhi Yang, ta có thể sử dụng BĐT Iran 96 để giải bài này! Bạn có thể xem rõ hơn ở đây:
http://www.artofprob...v...51&t=407329

Problem 3: Let $a, b, c$ denote the lengths of the sides of a triangle, and let $u, v, w$, respectively, be the distances of the centre of the incircle from the vertices opposite to the sides. Prove that
$\left ( a + b + c \right )\left ( \dfrac{1}{u} + \dfrac{1}{v} + \dfrac{1}{w} \right )\leq 3\left ( \dfrac{a}{u} + \dfrac{b}{v} + \dfrac{c}{w} \right )$

[dark templar]

Hôm nay em wallunint đã tạo ra một topic về chuyên đề BĐT nên anh sẽ đóng topic này lại.Em có thể post lại những bài của em và tham gia thảo luận trong đường link bên dưới.Thân.
Link:http://diendantoanho...mp;#entry261478

[Zaraki]

Thiệt tình em cũng thấy anh hơi vô lí. Topic của anh wallunint là topic BĐT của phần Olympiad, còn em tổ chức ở phần THPT cơ mà! Mỗi topic đều có điểm khác nhau của nó chứ! Đâu phải topic của em hoàn toàn giống của anh wallunint. Em hi vọng topic này sẽ được tiếp tục!
Cảm ơn anh!

[dark templar]

Thiệt tình em cũng thấy anh hơi vô lí. Topic của anh wallunint là topic BĐT của phần Olympiad, còn em tổ chức ở phần THPT cơ mà! Mỗi topic đều có điểm khác nhau của nó chứ! Đâu phải topic của em hoàn toàn giống của anh wallunint. Em hi vọng topic này sẽ được tiếp tục!
Cảm ơn anh!

Không cần thiết phải như vậy vì trên diễn đàn chỉ cần một topic về chuyên đề BĐT thôi,làm như vậy sẽ tránh làm loãng topic của cả 2 bên.Thân.
P/s:Anh vẫn sẽ đóng topic này lại.