Chủ đề này có 2 trả lời

[Nguyễn Hoàng Nam]

Cho a,b là các số dương thỏa mãn: $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$xy+\dfrac{3(x+y)^2}{x^2+xy+y^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lê Xuân Trường Giang: 07-05-2011 - 12:35

[h.vuong_pdl]

BDT này kung không khó lắm.
Đặt M là biể thức cần tìm min.

pp: cho M về dạng đối xứng:;

$M = \left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2.ab + \dfrac{3(a+b)^2}{a^2+ab+b^3} = \dfrac{(a+b)^2}{ab} + \dfrac{3(a+b)^2}{a^2+ab+b^2}$

Cách 1:

biến đổi $M - 8 = \dfrac{(a-b)^2}{ab} - \dfrac{(a-b)^2}{a^2+ab+b^2} \ge 0 \textup{ (hien nhien dung! ) } $

p/s: theo cách này ta có thể làm mạnh BDT lên:

tìm GTNN: $M = \dfrac{ab}{3} + \dfrac{3(a+b)^2}{a^2+ab+b^2}$


cách 2:

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz ta có:
$\dfrac{1}{3}M = (a+b)^2.\left(\dfrac{1}{3ab} + \dfrac{1}{a^2+ab+b^2}\right) \ge \dfrac{4(a+b)^2}{a^2+4ab+b^2}$

hiển nhiên $2(a^2+b^2+4ab) \le 3(a+b)^2 \to \textup{ Tim dc GTNN cua M}$

[khacduongpro_165]

Cho a,b là các số dương thỏa mãn: $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$P=xy+\dfrac{3(x+y)^2}{x^2+xy+y^2}$

Từ giả thiết ta có: $t=x+y=xy \leq \dfrac{(x+y)^2}{4} \Rightarrow t \geq 4$
Như thế: $P=t+\dfrac{3t^2}{t^2-t}=f(t)$ có $f'(t)>0$ mọi $t\geq 4$
vì thế: $f(t)\geq f(4)=8$