Chủ đề này có 6 trả lời

[tangkhaihanh]

Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng
$(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 4(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
Giúp em với em chưa làm được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tangkhaihanh: 16-05-2011 - 09:47

[khanh3570883]

Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng
$(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 4(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
Giúp em với em chưa làm được

Giả sử a b c
Ta có: VT 0 VP
P/s: Quá lỏng

[tangkhaihanh]

Bạn nhầm rồi. a;b;c là các hoán vị vòng quanh; vai trò của nó đâu như nhau.
Nếu thay a bởi b thì dấu bị ngược rồi; không thể giả sử thứ tự cả ba cái như vậy được ; chỉ có thể giả sử số lớn nhất hoặc số nhỏ nhất thôi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tangkhaihanh: 16-05-2011 - 20:05

[wallunint]

Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng
$(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 4(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
Giúp em với em chưa làm được

À Bài này thì ko khó cho lắm Thực ra mình đã có chứng minh 1 bài tương tự rồi

Thực ra suy nghĩ của bạn khanh3570883 cũng là 1 phần của bài toán trên.

Giả sử $a \geqslant b \geqslant c$ thì bất đẳng thức luôn đúng.

Xét $a \leqslant b \leqslant c $. Áp dụng bất đăng thức AM-GM, ta có:
$4\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)\left( {a + b + c} \right) \leqslant {\left[ {\left( {x + y + z} \right)\left( {y - x} \right) + \left( {z - y} \right)\left( {z - x} \right)} \right]^2}$

Vì vậy, bất đăng thức cần chứng minh tương đương với:

${a^2} + {b^2} + {c^2} \geqslant \left( {x + y + z} \right)\left( {y - x} \right) + \left( {z - y} \right)\left( {z - x} \right)$
$\begin{gathered}\Leftrightarrow x\left( {2x + 2z - y} \right) \geqslant 0:luon\_dung \hfill \\\Rightarrow \left( {dpcm} \right) \hfill \\\end{gathered} $


ps: Trong này ko bit ai nhiều tuổi hơn nên cứ gọi là bạn vậy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 16-05-2011 - 22:58

[Nguyễn Hữu Huy]

À Bài này thì ko khó cho lắm Thực ra mình đã có chứng minh 1 bài tương tự rồi

Thực ra suy nghĩ của bạn khanh3570883 cũng là 1 phần của bài toán trên.

Giả sử $a \geqslant b \geqslant c$ thì bất đẳng thức luôn đúng.

Xét $a \leqslant b \leqslant c $. Áp dụng bất đăng thức AM-GM, ta có:
$4\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)\left( {a + b + c} \right) \leqslant {\left[ {\left( {x + y + z} \right)\left( {y - x} \right) + \left( {z - y} \right)\left( {z - x} \right)} \right]^2}$

Vì vậy, bất đăng thức cần chứng minh tương đương với:

${a^2} + {b^2} + {c^2} \geqslant \left( {x + y + z} \right)\left( {y - x} \right) + \left( {z - y} \right)\left( {z - x} \right)$
$\begin{gathered}\Leftrightarrow x\left( {2x + 2z - y} \right) \geqslant 0:luon\_dung \hfill \\\Rightarrow \left( {dpcm} \right) \hfill \\\end{gathered} $
ps: Trong này ko bit ai nhiều tuổi hơn nên cứ gọi là bạn vậy

thực sự thì em ko hiểu ở chỗ xét a b c !
Do vai trò a , b , c cũng như nhau nên chắc xét a b c (như anh khanh) chắc là đc ùi ! Theo em nghĩ là vậy !

[vietfrog]

thực sự thì em ko hiểu ở chỗ xét a b c !
Do vai trò a , b , c cũng như nhau nên chắc xét a b c (như anh khanh) chắc là đc ùi ! Theo em nghĩ là vậy !

Theo mình thì khạnh3570883 chưa được chặt chẽ. Mình nghĩ như wallunit sẽ chặt chẽ hơn!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 17-07-2011 - 09:41

[wallunint]

Thực ra vai trò của các biến trong bất đẳng thức này không như nhau đâu
Vai trò của các biến trong bài toán này có tính hoán vị đấy Lên lớp 10 học sẽ thấy rõ hơn thôi

ps: sao ai cũng vik sai tên mình thế nhỉ ( Wallunint mới đúng chứ (

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 17-07-2011 - 18:40