$x+y+z=1$ và $x^{4} + y^{4} + z^{4} = xyz$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 24-05-2011 - 17:13
latex
#1
Đã gửi 24-05-2011 - 09:04
Lê Đỗ Thành Đạt
-
- Thành viên
-
- 64 Bài viết
Hạ sĩ
Tim x,y,z biết:
$x+y+z=1$ và $x^{4} + y^{4} + z^{4} = xyz$
$x+y+z=1$ và $x^{4} + y^{4} + z^{4} = xyz$
#2
Đã gửi 24-05-2011 - 17:14
NguyThang khtn
-
- Hiệp sỹ
-
- 1468 Bài viết
Thượng úy
ta sẽ chứng minh BDT:Tim x,y,z biết:
$x+y+z=1$ và $x^{4} + y^{4} + z^{4} = xyz$
$x^{4} + y^{4} + z^{4} = xyz(x+y+z)$
mình chỉ gợi ý thui bạn tự làm nha!
It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow
#3
Đã gửi 24-05-2011 - 20:50
javier
-
- Thành viên
-
- 40 Bài viết
Binh nhất
*Đúng rồi, để mình làm cho xem thửta sẽ chứng minh BDT:
$x^{4} + y^{4} + z^{4} = xyz(x+y+z)$
mình chỉ gợi ý thui bạn tự làm nha!
*Áp dụng bđt $a^{2} + b^{2} \geq 2ab$, ta dễ dàng có
$x^{4} + y^{4} + z^{4} \geq (xy)^2 + (xz)^2 + (yz)^2$ (1)
*Áp dụng bđt $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + ac + bc$, ta có $(xy)^2 + (xz)^2 + (yz)^2 \geq xyz(x+y+z)$ (2)
*(1), (2) $\Rightarrow x^{4} + y^{4} + z^{4} \geq xyz(x+y+z)=xyz$ (do $x+y+z=1$)
Mà $x^{4} + y^{4} + z^{4} = xyz (gt) \Leftrightarrow x=y=z$, lại có $x+y+z=1\Rightarrow x=y=z=1/3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 25-05-2011 - 06:09
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
