Chủ đề này có 1 trả lời

[Te.B]

Cho hai pt: $x^2+ax+1=0$ và pt $x^2+bx+17=0$. Biết hai pt có nghiệm chung và $|a|+|b|$ nhỏ nhất. Tìm a,b.

Trích đề thi vào chuyên tin - Lam Sơn (Thanh Hóa)

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 1: Cho hai phương trình : $x^2+ax+1=0$ và pt $x^2+bx+17=0$. Biết hai pt có nghiệm chung và $|a|+|b|$ nhỏ nhất. Tìm a,b.
Trích đề thi vào chuyên tin - Lam Sơn (Thanh Hóa)
Giải :
* Điều kiện cần :
Gọi $ x_0$ là một nghiệm chung của hai phương trình, ta có :
$ \left\{\begin{array}{l}x_0^2 + ax_0 + 1 = 0 (1) \\x_0^2 + bx_0 + 17 (2)\end{array}\right. \Rightarrow ( a - b )x_0 - 16 = 0 \Rightarrow x_0 = \dfrac{16}{a - b} $
( Vì nếu a = b thì $ x_0^2 + ax_0 + 1 = 0 \Rightarrow x_0^2 + bx_0 + 17 = x_0^2 + ax_0 + 17 = 16 \neq 0 $ )
Thay giá trị của $ x_0 $ vào phương trình (1), ta được :
$ \dfrac{16^2}{( a - b)^2} + a.\dfrac{16}{a - b} + 1 = 0 $
$ \Leftrightarrow 256 + a.16.( a - b ) + ( a - b )^2 $
$\Leftrightarrow 256 + 16a^2 - 16ab + a^2 - 2ab + b^2 = 0 $
$ \Leftrightarrow 17a^2 - 18ab + b^2 + 256 = 0 $
* Điều kiện đủ : Dễ dàng chứng minh rằng cũng là điều kiện đủ để hai phương trình có nghiệm chung ( $ x = \dfrac{1}{a - b}; a \neq b $ )
Vậy, với điều kiện $ \Leftrightarrow 17a^2 - 18ab + b^2 + 256 = 0 $ , tìm giá trị nhỏ nhất của | a | + | b |.
Từ $ \Rightarrow 18ab = 17a^2 + b^2 + 256 > 0 \Rightarrow |ab| = ab $
Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được phương trình :
$ 2x_0^2 + ( a + b )x_0 + 18 = 0$ (3)
Với điều kiện hai phương trình đã cho có nghiệm chung $ x_0$ nên phương trình (3) phải có nghiệm tức là ta có :
$ \Delta = ( a + b )^2 – 4.2.18 \geq 0 \Rightarrow ( a + b)^2 \geq 144 \Rightarrow |a + b| \geq 12$
Ta có : $ | a | + | b | \geq | a + b | \geq 12$ nên | a | + | b | nhỏ nhất khi :
$ | a | + | b | = |a + b | = 12$
Khi đó, phương trình (3) có nghiệm kép :
$ x_0 = \dfrac{-( a + b )}{4} = \pm 3$
* Thay $ x_0 = 3$ vào các phương trình (1) và (2) ta được :
$ a = \dfrac{-10}{3} ; b = \dfrac{-26}{3} $
* Thay $ x_0 = -3 $ vào các phương trình (1) và (2) ta được :
$ a = \dfrac{10}{3} ; b \dfrac{26}{3} $
P/S : Nếu có sai sót ở phần tính toán mong các bạn bỏ qua !!!