5 replies to this topic

[TheGame*HHH*]

1/ Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có

2) Chứng minh với mọi n

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 1 :
Tổng quát, ta có :
$ \dfrac{1}{( a + 1 ).\sqrt{a} + a.\sqrt{a + 1}} $
$ = \dfrac{1}{\sqrt{a.( a + 1 )}( \sqrt{a + 1} + \sqrt{a}) } $
$ = \dfrac{1.( \sqrt{a + 1} - \sqrt{a})}{\sqrt{a.( a + 1 )}( \sqrt{a + 1} + \sqrt{a})( \sqrt{a + 1} - \sqrt{a}) } $
$ = \dfrac{( \sqrt{a + 1} - \sqrt{a})}{\sqrt{a.( a + 1 )}} = \dfrac{1}{\sqrt{a}} - \dfrac{1}{a + 1} $
Do vậy, ta có :
$ \dfrac{1}{2.\sqrt{1} + 1\sqrt{2}} + \dfrac{1}{3.\sqrt{2} + 2\sqrt{3}} + .... + \dfrac{1}{( n + 1 ).\sqrt{n} + n\sqrt{n + 1}} $
$ = 1 - \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} - \dfrac{1}{\sqrt{3}} + .... + \dfrac{1}{\sqrt{n}} - \dfrac{1}{\sqrt{n + 1}} = 1 - \dfrac{1}{\sqrt{n + 1}} < 1$

Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 07-06-2011 - 21:02.

[NguyThang khtn]

2) Chứng minh với mọi n

chém bài tổng quát lun!(với n nguyên dương thui)
$\dfrac{1}{(1+1)\sqrt[p]{1}}+\dfrac{1}{(2+1)\sqrt[p]{2}}+...+\dfrac{1}{(n+1)\sqrt[p]{n}}$
ta sẽ chứng minh;
$\dfrac{1}{(k+1)\sqrt[p]{k}} < p(\dfrac{1}{\sqrt[p]{k}}-\dfrac{1}{\sqrt[p]{k+1}})$

Edited by bboy114crew, 10-06-2011 - 21:24.

[nghiemvantu]

chém bài tổng quát lun!(với n nguyên dương thui)
$\dfrac{1}{(1+1)\sqrt[p]{1}}+\dfrac{1}{(2+1)\sqrt[p]{2}}+...+\dfrac{1}{(n+1)\sqrt[p]{1}}$
ta sẽ chứng minh;
$\dfrac{1}{(k+1)\sqrt[p]{k}} < p(\dfrac{1}{\sqrt[p]{k}}-\dfrac{1}{\sqrt[p]{k+1}})$

Đáng lẽ căn 1 ở cuối dòng 2 phải là căn n chứ anh

[NguyThang khtn]

Mọi người thử làm xem!

[trangCT]

$ \dfrac{1}{(k+1) \sqrt{k}} = \dfrac{ \sqrt{k} }{k(k+1)} = \sqrt{k} ( \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1)} = \sqrt{k}( \dfrac{1}{ \sqrt{k}} + \dfrac{1}{ \sqrt{k+1}} )(\dfrac{1}{ \sqrt{k}} - \dfrac{1}{ \sqrt{k+1}})=(1+ \dfrac{ \sqrt{k} }{ \sqrt{k+1} })(\dfrac{1}{ \sqrt{k}} - \dfrac{1}{ \sqrt{k+1}}) < 2(\dfrac{1}{ \sqrt{k}} - \dfrac{1}{ \sqrt{k+1}})$
Từ đó dễ suy ra
$\dfrac{1}{2 \sqrt{1}}+ \dfrac{1}{3 \sqrt{2}}+......+ \dfrac{1}{(n+1) \sqrt{n}}<2$

Edited by trangCT, 10-06-2011 - 22:23.