Cho $a,b,c\geq 0$ and $a^{m}+b^{m}+c^{m}=3, \ \ m\ge{\dfrac{3}{2}}, \ \ t\ge 3,$
Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{t-\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{t-\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{t-\sqrt{ca}}\leq {\dfrac{3}{t-1}.$$
Interesting Inequality
Bắt đầu bởi Messi_ndt, 10-06-2011 - 13:13
#2
Đã gửi 10-06-2011 - 19:03
Chỉ là hướng điCho $a,b,c\geq 0$ and $a^{m}+b^{m}+c^{m}=3, \ \ m\ge{\dfrac{3}{2}}, \ \ t\ge 3,$
Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{t-\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{t-\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{t-\sqrt{ca}}\leq {\dfrac{3}{t-1}.$$
Thực hiện biến đổi tương đương,ta có:
$3t^2-2t\sum \sqrt{ab} +\sqrt{abc}\sum \sqrt{a} \le \dfrac{3}{t-1}\left(t^3-t^2\sum \sqrt{ca}+t\sqrt{abc}\sum \sqrt{a}-abc\right)$
$\Leftrightarrow t^2\left(\sum \sqrt{ab}-3 \right)-2t\left(\sqrt{abc}\sum \sqrt{a}-\sum \sqrt{ab} \right)+3abc-\sqrt{abc}\sum \sqrt{a} \le 0$
Sử dụng BĐT Becnoulii,ta có:$a^{m}=[1+(a-1)]^{m} \ge 1+m(a-1)$
$ \Rightarrow 3 \ge 3+m(a+b+c-3) \Leftrightarrow 3 \ge a+b+c \ge \sum \sqrt{ab}$
Như vậy ta có $\sum \sqrt{ab} -3 \le 0$
Xem BĐT ở trên là phương trình bậc 2 ẩn $t$,bài toán sẽ quy về chứng minh:
$ \Delta_{(1)} \le 0$
$\Leftrightarrow \left(\sqrt{abc}\sum \sqrt{a} -\sum \sqrt{ab} \right)^2-\left(\sum \sqrt{ab} -3 \right)\left(3abc-\sqrt{abc}\sum \sqrt{a} \right) \le 0$
Đến đây mình cũng thắc mắc là tại sao đề cho $t \ge 3$ để làm gì ?
P/s:Mình thấy hình như cách này bị sai r�ồi,nếu mình phân tích nhân tử SOS không lầm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 10-06-2011 - 19:05
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh