Chủ đề này có 1 trả lời

[supermember]

Bài Toán :

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ ; ta có :

$ 7^{n+2} | 3^{7^{n}} -2^{7^{n}} -1$

[tuan101293]

Bài Toán :

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ ; ta có :

$ 7^{n+2} | 3^{7^{n}} -2^{7^{n}} -1$

n=1 hiển nhiên đúng
ta CM quy nạp :
giả sử đúng tới n hay ta có
$3^{7^{n}} \equiv 2^{7^n}+1 (mod 7^{n+2})$
suy ra $3^{7^{n+1}}\equiv (2^{7^{n}}+1)^7 (mod 7^{n+3})$
suy ra $3^{7^{n+1}}-2^{7^{n+1}}-1\equiv 7*2^{7^{n}}*(2^{7^n}+1)(4^{7^{n}}+2^{7^n}+1)^2 (mod 7^{n+3})$
(do $(a+b)^7-a^7-b^7=7ab(a+b)(a^2+ab+b^2)$)
chú ý rằng $(4^{7^n}+2^{7^n}+1)^2=(\dfrac{8^{7^n}-1}{2^{7^n}-1})^2$ và ta có $7^{n+1}|8^{7^n}-1$
suy ra $(4^{7^n}+2^{7^n}+1) \vdots 7^{2n+2} $
hay đúng với n+1
theo quy nạp ta có ĐPCM

Supermember :

Chỗ này ; để lời giải đầy đủ ; chí tiết thì cần chứng minh ( hoặc có nêu ra ) :

$ ord_{2} (7^n) = 3.7^{n-1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 12-06-2011 - 14:04